Đề thi HSG Quốc gia môn Toán 2010

[thuydaica]

Câu 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình sau:


Câu 2: (5 điểm)
Cho dãy số xác định bởi
và với mọi
1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
2/ Chứng minh rằng là dãy số giảm.

Câu 3: (5 điểm)
Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) và 2 điểm cố định B, C nằm trên đường tròn đó sao cho dây BC không là đường kính. Xét một điểm A di động trên (O) sao cho và A không trùng với B, C. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của đường thẳng BC với đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc . Gọi I là trung điểm của DE. Đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với AI cắt các đường thẳng AD và AE tương ứng tại M và N.
1/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn di qua một điểm cố định.
2/ Xác định vị trí của điểm A sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.

Câu 4: (3 điểm)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình

Có ít nhất n nghiệm tự nhiên (x,y).

Câu 5: (3 điểm)
Cho số nguyên dương n. Cho bảng ô vuông kích thước 3x3. Người ta dùng n màu để tô tất cả các ô vuông con của bảng sao cho trong mỗi cách tô, mỗi ô vuông con được tô bởi một màu.
Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách tô màu này có thể nhận được từ cách tô màu kia nhờ một phép quay quanh tâm của bảng ô vuông.
Hỏi tất cả bao nhiêu cách tô màu đôi một không như nhau ?
(Lưu ý: Trong một cách tô không nhất thiết phải dùng đủ n màu).




Nguồn từ: http://chuyenhvt.net

Các bài viết cùng chuyên mục:

• Đề thi hsg quốc gia 2011 (tất cả các môn)
• Đề thi hsg quốc gia vật lý 2011
• Bộ đề học sinh giỏi quốc gia 2010
• Đề thi HSGQG 2010 (tất cả các môn)
• Đề thi HSG Quốc gia môn Toán 2010
• Đề văn quốc gia 2010
• Đề Thi HSG Tin Học Phú Thọ
• Đề trại hè Hùng Vương - Toán 2009
• Tuyển tập đề thi chọn đội tuyển QG 1989- 2004
• Tổng hợp đề thi HSG Hóa 10,11,12&QG của...