Đề thi HSG Quốc gia môn Toán 2010

[thuydaica]

Câu 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
\left\{ \begin{array}{l} x^4-y^4=240 \\ x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y). \end{array} \right.

Câu 2: (5 điểm)
Cho dãy số (a_n) xác định bởi
a_1=5 và a_n= \sqrt[n]{a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2.3^{n-1}} với mọi n \geq 2 .
1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số (a_n).
2/ Chứng minh rằng (a_n) là dãy số giảm.

Câu 3: (5 điểm)
Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) và 2 điểm cố định B, C nằm trên đường tròn đó sao cho dây BC không là đường kính. Xét một điểm A di động trên (O) sao cho AB \neq AC và A không trùng với B, C. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của đường thẳng BC với đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc \widehat{BAC}. Gọi I là trung điểm của DE. Đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với AI cắt các đường thẳng AD và AE tương ứng tại M và N.
1/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn di qua một điểm cố định.
2/ Xác định vị trí của điểm A sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.

Câu 4: (3 điểm)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình

x^2+15y^2=4^n
có ít nhất n nghiệm tự nhiên (x,y).

Câu 5: (3 điểm)
Cho số nguyên dương n. Cho bảng ô vuông kích thước 3x3. Người ta dùng n màu để tô tất cả các ô vuông con của bảng sao cho trong mỗi cách tô, mỗi ô vuông con được tô bởi một màu.
Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách tô màu này có thể nhận được từ cách tô màu kia nhờ một phép quay quanh tâm của bảng ô vuông.
Hỏi tất cả bao nhiêu cách tô màu đôi một không như nhau ?
(Lưu ý: Trong một cách tô không nhất thiết phải dùng đủ n màu).



:zan::zan::zan::zan::zan::zan::zan::zan::zan:

[M.Com]

@thuydaica: Cảm ơn em. Mong em và các bạn sáng nay có kết quả làm bài tốt ?!

[HuyToan]

thế sáng nay các em làm thế nào???????/................................

[haha]

thằng Min lớp e bảo k làm đc,có ai có hi vọng đc giải k?

[titi_toto]

@thuydaica: nghe nói mày làm đc 3 bài à
chắc có giải rồi
mà coi chặt quá k chép nhau đc à :fear::fear::fear:

[[Math]_Kut3]

có giải là ngon rồi ;));));));));));));));));));));));))

[luunhuhoa]

Mình thử giải bài số 4 xem.

Dễ thấy nếu (x_0,y_0) là nghiệm của:
x^2+15y^2=4^N (1)

Thì (2x_0,2y_0)
là nghiệm của x^2+15y^2=4^{N+1} (2)

Nên nếu (1) có ít nhất N nghiệm thì (2) cũng sẽ có ít nhất N nghiệm trong đó x,y đều là số chẵn.

Hướng đi bây giờ là sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh,và ta cần chỉ ra (2) cũng có 1 cặp nghiệm x,y lẻ nữa là xong (rõ ràng x,y cùng lẻ hoặc chẵn)

Hay bài toàn cần chứng mính sẽ tương đương với phương trình (2) phải tồn tại 1 cặp nghiệm (x,y) là số tự nhiên lẻ. (Bổ đề 4.1)

Dễ thấy x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm nên ta quy bài toán về tồn tại cặp nghiệm là số nguyên lẻ (Bổ đề 4.2)

Ta thấy nếu (x_n,y_n) là nghiệm của (2) thì:

x_{n+1} = \frac{x_{n} - 15y_{n}}{4}
y_{n+1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{4}

Cũng là nghiệm của (2).Thật vậy,ta có:
x_{n+1}^2+15y_{n+1}^2=(x_n^2+15y_n^2)(\frac{1}{16} +\frac{15}{16}) = 4^{N+1}

Dễ thấy (2^{N-1},2^{N-1}) là 1 cặp nghiệm của (2). Thay vào phương trình trên ta có tiếp cặp nghiệm (-7.2^{N-2},2^{N-2}),thay tiếp cặp nghiệm đó vào hệ phương trình trên ta có cặp nghiệm mới (-11.2^{N-3},-3.2^{N-3})

Ý tượng sẽ là thay đến lần N thì ta sẽ có 1 cặp nghiệm lẻ hay bổ đề 4.2 được chứng minh suy ra bài toán được chứng minh

Thực ra đến đây thì vẫn chưa hoàn thiện lắm b-(

Chắc có thể chứng minh được = quy nạp hoặc cùng lắm tìm CTTQ của phương trình sai phân ra :zsweat:

[luunhuhoa]

Bình Luận sau trận đấu:

- Thể thức thi đấu: việc thi 5 bài trong 1 ngày (chắc là 180 phút) này khó hơn thể thức cũ (thi 2 ngày,mỗi ngày 3 bài/180 phút),vì thế đề thi có thể không khó hơn nhưng điểm trung bình sẽ không cao như trước kia.Mình vẫn ưa kiểu cũ hơn.

- Nhận định chuyên gia: sau khi lướt qua các trang mạng,dư luận đều nhận định,bài 1 là "lừa tình",trông mơn mởn như gái Teen nhưng lại là loại dáng thể thao,anh em lái Ferrari không đuổi kịp ;))
Ai giải được bài 1 trọn vẹn,có thể được tham dự TST.Đây là dự đoán của thầy Trần Nam Dũng (PTNK - TPHCM)


Nguyên văn bởi namdung
Dự đoán cho vui, cũng là làm yên lòng các chiến sĩ đang hoang mang sau buổi thi.

Điểm chuẩn dự TST: ~ 12.5 --> 13.5
Điểm giải 3 trở lên (nếu thông tư mới được áp dụng): 11.5
Điểm có giải KK trở lên: 9.5

Tôi thấy bài hình cũng khó được trọn vẹn điểm lắm, do đó làm trọn 2 bài phải chắc thì mới được 10 điểm. Vì thế dù bài 2, 3 được đánh giá là dễ chịu nhưng số thí sinh đạt 10 điêm trở lên chắc không cao.

Dự đoán của BLV:
- Chả làm được bài nào cả ;)) Làm thử bài số học mất cả buổi tối mới xong :D
- Đội HB chắc năm nay có giải,nếu mà cứ trắng bảng mãi,ai người ta thi nữa :D

Về bài 4
Hướng quy về chứng minh có 1 nghiệm lẻ thì khá là hiển nhiên,tuy nhiên nếu không chú ý có thể không nghĩ đó là 1 hướng đi khả thi mà bỏ qua nó.

Mấu chốt 2 là tìm ra thêm 1 cặp nghiệm nữa từ cặp nghiệm ban đầu.Hướng suy nghĩ này bắt nguồn từ việc giải phương trình Pell (một dạng phương trình Diophante),ta có thể đưa lời giải về dạng sai phân.

Một cách tổng quát ta có công thức sau cho phương trình diophante:
Ax^2+Bxy+Cy^2 = M
X_{n+1}=PX_n + QY_n
Y_{n+1}=RX_n + SY_n
Với:
P = r;Q = -Cs;R = As;S = r + Bs
trong đó
r^2 + Brs + ACs^2 = 1

Còn đây là bình luận của thầy Nam Dũng.
http://lh3.ggpht.com/_6yJ1eNvg-aw/S5mQJH057lI/AAAAAAAACPg/aw9-m-1gzEw/nhan%20xet%20namdung.jpg

Lời giải và nhận xét của thầy Nam Dũng.


Sau khi làm đáp án, một cách hoàn toàn độc lập với các "cảm xúc" của các thì sinh, xin có một số nhận xét chung thế này về các bài toán.

Bài toán 2 là dễ nhất về mọi mặt. Từ cách giải đến công trình bày. Vì vậy ai không làm được bài này thì không còn gì để nói.

Bài 3 là bài có độ khó trung bình. Tuy nhiên để giải bài này cũng khá tốn thời gian. Ngoài ra khi trình bày có thể sẽ có một số sai sót. Cấu hình bài toán cũng đòi hỏi việc xét một số trường hợp do vị trí tương đối của A.

Bài 1 và 4 có độ khó ngang nhau. Mỗi bài đều có 1 điểm chốt cần vượt qua. Đây là loại toán mà chưa làm được thì thấy rất khó, nhưng vượt qua rồi lại thấy dễ. Vì thế thật khó bình luận về hai bài toán này, đặc biệt là về bài 1. Nếu nói khó thì cũng không đúng mà nói dễ thì thật không phải.

Bài 5 là một bài toán khá chân phương, phát biểu rõ ràng và không có gì là rùng rợn. Nếu bình tĩnh 1 chút thì sẽ thấy ngay đường đi. Vấn đề là người làm được bài này phải
1) Có thời gian
2) Đủ bản lĩnh
3) Tránh được nhầm lẫn (rất dễ xảy ra) trong suy luận.

Đánh giá chung là khó lòng có ai làm hết 5 bài. Bạn nào làm được 4 bài hoàn chỉnh rất giỏi. Nếu làm hoàn chỉnh 3 bài đã là giỏi. (Đó có thể là 1, 2, 3 hoặc 2, 3, 4).

Theo tôi các bạn nên bình tĩnh và an tâm chờ đợi. Và bắt đầu quay về với lớp học của mình. Dù sao VMO cũng chỉ là 1 kỳ thi, không nên đặt cược tất cả vào đó. Người ta nói đích đến không quan trọng bằng con đường đi đến đích. Ôn luyện cho VMO, các bạn đã học được rất nhiều, đã làm quen với sức ép, với cường độ làm việc, với sự chủ động trong học tập, với việc thử sức với những vấn đề thật sự. Những điều đó sẽ giúp các bạn thành công trong con đường sắp tới của các bạn.

http://www.fileden.com/files/2009/6/6/2467982//Loigiai_VMO2010.doc

[thuydaica]

Đề bài cũng đánh đố thật. Sao mà giải nổi 5 bài.
May là mình làm bài 3 trước rồi đến bài 2 và cuối cùng là bài 1, nếu mà làm bài1 trước chắc là xịt luôn

Em thử trình bày bài 1 luôn:
hệ đã cho tương đương với
\left\{ \begin{array}{l} x^4+16=y^4+256 \\ x^3-3x^2+4x=2y^3-12y^2+32y \end{array} \right.
<=>\left\{ \begin{array}{l} x^4+16=y^4+256 \\ -8(x^3-3x^2+4x)=-8(2y^3-12y^2+32y) \end{array} \right.
Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ trên có
(x-2)^4=(y-4)^4
=>\left\[ \begin{array}{l} x=y-2 \\ x=6-y \end{array} \right.
Thay vào giải được 2 nghiệm (x;y)=(4,2) và (-4;-2)

[titi_toto]

nghe anh Hoà nói thì chắc thằng Thủy được giải 3 rồi
được lắm :grin::grin::grin::grin:
mà mấy ông ra đề cũng oái oăm
cho từ dễ đến khó ko cho
cho ngay bài 1 lên đầu
cô Xuân gọi cho các đội khác kêu oai oái bài 1:hamarneh::hamarneh::hamarneh:
thế này càng có giải có giải :zan::zan::zan::zan::zan:

[hai_bk]

up file PDF kiểu lên gì thế. Mình có bộ đề đủ tất cả các môn đây nhưng không biết up kiểu gì. Ai chỉ chi tiết cái mình sẽ up lên. Đội lý làm bài thế nào nhỉ? tình hình là đề năm nay mình không làm được bài nào, may quá thi năm trước:)) Nhưng mà năm ngoái thấy mấy em đội lý học giỏi khiếp, hi vọng là có giải cao.

[HuyToan]

Chúc mừng Thủy nhé.....có người vào vòng 2 rồi.................

[luunhuhoa]

minhsphuc12 - 09:47 PM 28-03-2010 - Trả lời
@luunhuhoa: 8 năm thì em cũng thấy là hơi "nhiều", vì thực ra chỉ từ 3 năm gần đây là phong trào đi xuống rõ rệt, chứ em thấy trước đấy giải quốc gia vẫn có, các anh vẫn hoành tráng lắm, chỉ đến mấy lứa gần gần thì HS Toán không còn đam mê mãnh liệt lắm, cộng thêm việc giáo viên với giáo trình không hoàn thiện nên kết quả mới thấp như thế

Theo cá nhân mình nghĩ,kết quả năm nay nếu như 4T nói thì có ý nghĩa hơn mấy giải 2 thời xưa nhiều. Hồi đấy bọn anh thi cũng là theo phong trào,cô bảo mày thi được thì cũng đi thi :D. Lửa đam mê cũng là kiểu tự kỷ ám thị vật nóng gần nhau thì cùng cháy. Nếu cùng khóa em,chưa chắc anh đã muốn đi thi.Đổi lại em cùng khóa anh rất có thể em sẽ đạt giải cao hơn thằng Hà đực :D
Hoàn cảnh viết ra con người mình nhiều hơn là mình tạo ra hoàn cảnh.

Người viết ra lịch sử không chỉ là người xuất sắc trong thế hệ của mình mà còn là người tạo cảm hứng cho thế hệ khác nữa,không phải bằng lời nói,mà bằng thành tích ;)) ( vì thế anh so sánh với khóa 99-02 là khóa tạo cảm hứng cho khóa sau nhiều nhất :D có khi còn ý nghĩa hơn vì ngày xưa thi như đánh bạc,bây giờ lành mạnh hơn :hamarneh: )

Có hai giải 3 hay (nhiều hơn) ko (tò mò ko biết ai là người còn lại :-bd ) có TST hay ko thì ít nhất là các thầy cô năm nay cũng chứng minh được Hòa Bình có thể đạt giải khi nhập 2 bảng làm một,khi không còn tuyển thẳng đại học. (Kiểu như Wenger chứng minh được đội quân Kids của ông có thể vô địch PL or C1 :D )
@minhsphuc12: