Việc chọn điểm rơi và sử dụng khéo léo Bất đẳng thức Cauchy

**HLN1994** · 01-12-2010 07:05 PM

Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp.

Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất:
a.

b.

c.

d.

Giải:
a.Bài này khá đơn giản chắc bạn nào cũng đều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp nhất.
Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3. Nên ta có như sau:

(dấu = xảy ra khi

)
Như vậy ta áp dụng như sau:

cộng dồn lại rồi suy ra.

b.Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn. Và phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này.
Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao:

(dấu = xảy ra khi

)

(dấu = xảy ra khi

)

(dấu = xảy ra khi

)
Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có

suy ra:

( * )
Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và ( * ) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.
c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:

(dấu = xảy ra tại

)

(dấu = xảy ra tại

)

(dấu = xảy ra tại

)
Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có

suy ra:

( * )
Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và ( * ) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.
c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:

(dấu = xảy ra tại

)

(dấu = xảy ra tại

)

(dấu = xảy ra tại

)
Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z
Vậy ta suy ra dễ dàng:

( * )
Đồng thời với dấu = xảy ra và đk ( * ) bạn có thể tìm được biệt số.
d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này. Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều. Nay mình xin nói thêm đây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền. Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi

như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo

rồi thế vào điều kiện là có thể ra được điểm rơi.
Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn:

. Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên)

Các bài viết cùng chuyên mục:

**luunhuhoa** · 02-12-2010 07:42 AM

Mấy bài như ở ví dụ trên thì dùng BCS có phải nhanh hơn ko ?

LOL

Anyway,bài viết có ích,em tự viết hả

Cá nhân anh không thích mấy bài BDT lắm,quanh đi quẩn lại cũng chỉ mấy mẹo,ko thiết thực lắm.Việc học Toán ở phổ thông cũng hơi lệch lạc.Chú trọng nhiều đến mấy bài BDT vô nghĩa

theo anh BDT chỉ rèn luyện cho mình kỹ năng biến đổi đại số,trong khi các khái niệm cơ bản của đại số,nhóm,tập hợp ... tuy đơn giản, ý nghĩa hơn nhưng ít người hiểu.

Toán phổ thông mình cũng chú trọng nhiều đến giải tích,giới hạn,tích phân ... thực sự không cần thiết mà học sinh cũng chẳng được hiểu cặn kẽ các khái niệm về giới hạn.Trường phái dạy thiên về giải tích của nhóm Bourbarki đã bị phê phán nhiều rồi.

Theo anh thì Xác suất,tổ hợp là thứ cần thiết nhất thì ít dạy.Còn số học và hình học là thứ đẹp nhất thì chả ai học

**luunhuhoa** · 03-12-2010 08:07 AM

Nhân đây up lại tập san cũ 1 thời

và lời tựa của anh TBT

Code:

http://12toanhvt.files.wordpress.com/2009/03/tapsan2007.pdf

Entry for April 05, 2007

Dù không phải là người thích tưởng tượng và hay tưởng tượng. Nhưng nhiều lúc ngồi nhớ lại những kỷ niệm cũ cũng thấy có lắm cái để bàn! Bạn cũ khi gặp lại thì những ký ức năm nào lại như hiện ra trước mắt, kể lại và nhớ lại xem ra cũng thật thú vị. Rồi sau này khi đã trưởng thành thực sự thì những câu chuyện đó sẽ mãi mãi là đề tài cho những câu chuyện kể để chúng tôi nhớ đến nhau, về những ngày tháng trai trẻ không thể nào quên …

Còn nhớ năm nào tôi và 2 thằng bạn thân nữa, được mọi người gán cho cái biệt danh “ba chàng lính ngự lâm” nghe mà oai như cóc. Ngày xưa cả ba thằng yêu Toán gần chết, thằng nào cũng hùng hục làm báo Toán đến nỗi chẳng học cái gì khác cả. Vẫn nhớ cái cảnh mình và lão Ngọc (Lão còn lại không tham gia!) đèo nhau trên chiếc xe đạp cà tàng, lượn lờ quanh mấy sạp báo quen thuộc, dù biết rằng báo mới chưa ra nhưng với tâm trạng hồi hộp, rạo rực vẫn thôi thúc chúng tôi đi … Đó quả là những ngày tháng thật đẹp! Tôi vẫn còn nhớ như in những lúc chúng tôi được đăng bài trên báo, chẳng phải nói gì, đứa nào cũng run rẩy cầm báo và cười tít mắt rồi tha hồ tán phét về cách giải của mình, nhất là chú nào có vinh dự được đăng bài giải mẫu, mặt thì vênh như bánh đa!

Đã lâu rồi 3 đứa chúng tôi chưa gặp nhau và chưa khi nào làm chầu bia đã đời cả. Hy vọng rằng chú thứ 3, là người duy nhất đã ra trường rồi tìm được chỗ làm ưa thích, để rồi khi nào chúng ta sẽ gặp nhau, lúc đó hơi bị tốn bia đấy!

Chúc cho tình bạn của chúng ta mãi mãi trẻ trung như những ngày qua. Chúc tất cả thành công trên con đường mình đã chọn! Hãy tin tưởng bởi vì, “Chỉ biết rằng cuối cùng chúng tôi sẽ thắng …”!

Nguyễn Lâm Tuyền (99-02)