Phương trình Pythagore có dạng:


Dễ thấy nếu là một nghiệm của phương trình thì với mọi số nguyên dương k bộ cũng là một nghiệm. Ngược lại nếu là một nghiệm của phương trình trên và thì cũng là một nghiệm và việc của chúng ta cần làm là xét bộ (x,y,z) thỏa mãn (x,y,z) = 1.

Định lí :

Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn . Khi đó luôn tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n thỏa mãn:


Ngược lại, nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho:

thì (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy.
Chứng Minh:

Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn , ta có :

Vì (z,y) = 1 nên

Do đó tồn tại 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n, sao cho :

Từ đó suy ra

Ngược lại , nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho :
thì dễ dàng KT (x,y,z) là một bộ Pythagore. Cần chứng minh (x,y,z) là bộ Pythagore nguyên thủy .Đặt (y,z) = d vì y,z là số lẻ nên d lẻ.Mặt khác :

. Vì (m,n) =1 nên d = 1 tức là (y,z)= 1 . Từ đó suy ra (x,y) =1 và (x,z) = 1. Điều phải chứng minh
Nguồn từ: http://chuyenhvt.net

Các bài viết cùng chuyên mục: