Việc chọn điểm rơi và sử dụng khéo léo Bất đẳng thức Cauchy
Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp.
Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất:
a.http://codecogs.izyba.com/gif.latex?A=x^2+y^2+z^2
b.http://codecogs.izyba.com/gif.latex?B=x^2+y^2+3z^2
c.http://codecogs.izyba.com/gif.latex?C=x^2+2y^2+3z^2
d.http://codecogs.izyba.com/gif.latex?D=ax^2+by^2+cz^2
Giải:
a.Bài này khá đơn giản chắc bạn nào cũng đều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp nhất.
Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3. Nên ta có như sau:
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...geq%202x\alpha(dấu = xảy ra khi http://codecogs.izyba.com/gif.latex?\alpha=x=1/3)
Như vậy ta áp dụng như sau:
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...%20\geq%202x/3
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...%20\geq%202y/3 cộng dồn lại rồi suy ra.
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...%20\geq%202z/3
b.Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn. Và phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này.
Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao:
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...ac{2x}{\alpha}(dấu = xảy ra khi http://codecogs.izyba.com/gif.latex?x=\frac{1}{\alpha})
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...ac{2y}{\alpha}(dấu = xảy ra khi http://codecogs.izyba.com/gif.latex?y=\frac{1}{\alpha})
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...qrt{3}}{\beta}(dấu = xảy ra khi http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...ta%20\sqrt{3}})
Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...{3}}{\beta%20} suy ra: http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...\sqrt{3}\alpha ( * )
Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và ( * ) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.
c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...geq%202x\alpha(dấu = xảy ra tại http://codecogs.izyba.com/gif.latex?x=\alpha)
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...y\sqrt{2}\beta(dấu = xảy ra tại http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...eta}{\sqrt{2}})
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...\sqrt{3}\gamma (dấu = xảy ra tại http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...mma}{\sqrt{3}})
Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...{3}}{\beta%20}suy ra: http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...\sqrt{3}\alpha ( * )
Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và ( * ) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.
c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...geq%202x\alpha(dấu = xảy ra tại http://codecogs.izyba.com/gif.latex?x=\alpha)
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...y\sqrt{2}\beta(dấu = xảy ra tại http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...eta}{\sqrt{2}})
http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...\sqrt{3}\gamma(dấu = xảy ra tại http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...mma}{\sqrt{3}})
Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z
Vậy ta suy ra dễ dàng:http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...\sqrt{3}\gamma( * )
Đồng thời với dấu = xảy ra và đk ( * ) bạn có thể tìm được biệt số.
d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này. Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều. Nay mình xin nói thêm đây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền. Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...^2=cz^2=\alphanhư vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo http://codecogs.izyba.com/gif.latex?\alpha rồi thế vào điều kiện là có thể ra được điểm rơi.
Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: http://codecogs.izyba.com/gif.latex?...z%20\geq%20d_1. Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên)
