HLN1994
18-11-2010, 01:04 PM
Phương trình Pythagore có dạng:
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x^2%20+%20y^2%20=%20z^2
Dễ thấy nếu http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(x_{0},y_{0},z_{0}) là một nghiệm của phương trình thì với mọi số nguyên dương k bộ http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(kx_{0},ky_{0},kz_{0}) cũng là một nghiệm. Ngược lại nếu http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(x_{0},y_{0},z_{0}) là một nghiệm của phương trình trên và http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20d%20=(x_{0},y_{0},z_{0}) thì http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(\frac{x_{0}}{d},%20\frac{ y_{0}}{d},\frac{z_{0}}{d}) cũng là một nghiệm và việc của chúng ta cần làm là xét bộ (x,y,z) thỏa mãn (x,y,z) = 1.
Định lí :
Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn . Khi đó luôn tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n thỏa mãn:
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x%20=%202mn%20,%20y%20=%20 m^2%20-%20n^2%20,%20z%20=%20m^2%20+%20n^2
Ngược lại, nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho:
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x%20=%202mn,%20y%20=%20m^2 %20-%20n^2%20z%20=%20m^2%20+%20n^2
thì (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy.
Chứng Minh:
Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn , ta có :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20\frac{x}{2}^2%20=%20(\frac {z+y}{2})(\frac{z-y}{2})
Vì (z,y) = 1 nên http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(\frac{z+y}{2},\frac{z-y}{2})=1
Do đó tồn tại 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n, sao cho :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20\frac{z+y}{2}%20=%20m^2;%2 0\frac{z-y}{2}%20=%20n^2
Từ đó suy ra http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x%20=%202mn%20,%20y=%20m^2 %20-%20n^2%20,%20z%20=%20m^2%20+%20n^2
Ngược lại , nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x%20=%202mn;%20y%20=%20m^2-%20n^2%20;%20z=%20m^2%20+%20n^2 thì dễ dàng KT (x,y,z) là một bộ Pythagore. Cần chứng minh (x,y,z) là bộ Pythagore nguyên thủy .Đặt (y,z) = d vì y,z là số lẻ nên d lẻ.Mặt khác :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20y%20+%20z%20=%202m^2%20\vd ots%20d;%20%20%20%20%20%20%20z-y%20=%202n^2%20\vdots%20d
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20\Rightarrow%20m^2%20\vdots %20d%20;%20n^2%20\vdots%20d. Vì (m,n) =1 nên d = 1 tức là (y,z)= 1 . Từ đó suy ra (x,y) =1 và (x,z) = 1. Điều phải chứng minh
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x^2%20+%20y^2%20=%20z^2
Dễ thấy nếu http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(x_{0},y_{0},z_{0}) là một nghiệm của phương trình thì với mọi số nguyên dương k bộ http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(kx_{0},ky_{0},kz_{0}) cũng là một nghiệm. Ngược lại nếu http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(x_{0},y_{0},z_{0}) là một nghiệm của phương trình trên và http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20d%20=(x_{0},y_{0},z_{0}) thì http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(\frac{x_{0}}{d},%20\frac{ y_{0}}{d},\frac{z_{0}}{d}) cũng là một nghiệm và việc của chúng ta cần làm là xét bộ (x,y,z) thỏa mãn (x,y,z) = 1.
Định lí :
Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn . Khi đó luôn tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n thỏa mãn:
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x%20=%202mn%20,%20y%20=%20 m^2%20-%20n^2%20,%20z%20=%20m^2%20+%20n^2
Ngược lại, nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho:
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x%20=%202mn,%20y%20=%20m^2 %20-%20n^2%20z%20=%20m^2%20+%20n^2
thì (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy.
Chứng Minh:
Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn , ta có :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20\frac{x}{2}^2%20=%20(\frac {z+y}{2})(\frac{z-y}{2})
Vì (z,y) = 1 nên http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20(\frac{z+y}{2},\frac{z-y}{2})=1
Do đó tồn tại 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n, sao cho :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20\frac{z+y}{2}%20=%20m^2;%2 0\frac{z-y}{2}%20=%20n^2
Từ đó suy ra http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x%20=%202mn%20,%20y=%20m^2 %20-%20n^2%20,%20z%20=%20m^2%20+%20n^2
Ngược lại , nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20x%20=%202mn;%20y%20=%20m^2-%20n^2%20;%20z=%20m^2%20+%20n^2 thì dễ dàng KT (x,y,z) là một bộ Pythagore. Cần chứng minh (x,y,z) là bộ Pythagore nguyên thủy .Đặt (y,z) = d vì y,z là số lẻ nên d lẻ.Mặt khác :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20y%20+%20z%20=%202m^2%20\vd ots%20d;%20%20%20%20%20%20%20z-y%20=%202n^2%20\vdots%20d
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.cgi?\large%20%20\Rightarrow%20m^2%20\vdots %20d%20;%20n^2%20\vdots%20d. Vì (m,n) =1 nên d = 1 tức là (y,z)= 1 . Từ đó suy ra (x,y) =1 và (x,z) = 1. Điều phải chứng minh