Phương trình Pythagore

Phương trình Pythagore có dạng:
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...0y^2%20=%20z^2

Dễ thấy nếu http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...},y_{0},z_{0}) là một nghiệm của phương trình thì với mọi số nguyên dương k bộ http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...ky_{0},kz_{0}) cũng là một nghiệm. Ngược lại nếu http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...},y_{0},z_{0}) là một nghiệm của phương trình trên và http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...},y_{0},z_{0}) thì http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...rac{z_{0}}{d}) cũng là một nghiệm và việc của chúng ta cần làm là xét bộ (x,y,z) thỏa mãn (x,y,z) = 1.

Định lí :

Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn . Khi đó luôn tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n thỏa mãn:
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...0m^2%20+%20n^2

Ngược lại, nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho:
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...0m^2%20+%20n^2
thì (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy.
Chứng Minh:

Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn , ta có :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...\frac{z-y}{2})
Vì (z,y) = 1 nên http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...rac{z-y}{2})=1

Do đó tồn tại 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n, sao cho :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...}{2}%20=%20n^2
Từ đó suy ra http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...0m^2%20+%20n^2

Ngược lại , nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...0m^2%20+%20n^2 thì dễ dàng KT (x,y,z) là một bộ Pythagore. Cần chứng minh (x,y,z) là bộ Pythagore nguyên thủy .Đặt (y,z) = d vì y,z là số lẻ nên d lẻ.Mặt khác :
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...2%20\vdots%20d
http://www.psit.in/cgi-bin/mimetex.c...2%20\vdots%20d. Vì (m,n) =1 nên d = 1 tức là (y,z)= 1 . Từ đó suy ra (x,y) =1 và (x,z) = 1. Điều phải chứng minh