Bất đẳng thức cộng Chebyshev

[HLN1994]

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho http://upload.wikimedia.org/math/4/8/9/489390832e002791ba6b794a2d88499f.png và http://upload.wikimedia.org/math/1/9/f/19fcfacd913549a2d463ca1e22d7663f.png thì http://upload.wikimedia.org/math/6/e/d/6ed82fd032965a20cb8eea05e2aa5c54.png

Tương tự, nếu http://upload.wikimedia.org/math/4/8/9/489390832e002791ba6b794a2d88499f.png và http://upload.wikimedia.org/math/d/c/f/dcff059bec9e3e40027f5130b9a53b77.png thì
http://upload.wikimedia.org/math/1/5/c/15c88462a26547ee6901301f851c12a1.png

Chứng minh

Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức hoán vị.
Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau
http://upload.wikimedia.org/math/9/e/f/9efcaa07e9137779115668cf376ca1fc.png

và

http://upload.wikimedia.org/math/6/e/f/6ef8fa82f65c6f3db3027dc8e3c43f48.png

Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có

http://upload.wikimedia.org/math/7/e/4/7e4b3b5369382a69c9457c7a88cc793f.png

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.

http://upload.wikimedia.org/math/1/1/8/1182a1228af0855db077f3eded9b28d2.png
http://upload.wikimedia.org/math/1/1/8/1182a1228af0855db077f3eded9b28d2.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/6/f/66f576f62073ce02769507ed25202bce.png
http://upload.wikimedia.org/math/d/9/e/d9e8e1477c5a61586a5af4bd297cb642.png
http://upload.wikimedia.org/math/c/b/8/cb88ad16bc60f6555f5f6e2a027a5eea.png

Cộng vế theo vế, ta có:

http://upload.wikimedia.org/math/9/0/0/900298693e13c4fc077ca96f7fac6b21.png

chia cả hai vế cho n^2, ta nhận được:

http://upload.wikimedia.org/math/9/a/8/9a82961f90cb3cdf4c56841e0a473f14.png
(điều phải chứng minh)

[thuydaica]

Cái bất đẳng thức hoán vị thì chứng minh bằng khai triển Abel
giả sử {c_1,c_2,...,c_n} là 1 hoán vị của {b_1,b_2,...,b_n}
khi đó
(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)-(a_1c_1+a_2c_2+...+a_nc_n)
=(a_1-a_2)(b_1-c_1)+(a_2-a_3)(b_1+b_2-c_1-c_2)+(a_3-a_4)(b_1+b_2+b_3-c_1-c_2-c_3)+...+a_n(b_1+b_2+...+b_n-c_1-c_2-...-c_n) \geq 0
=> a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \geq a_1c_1+a_2c_2+...+a_nc_n