M.Com
01-03-2010, 01:49 PM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO KHỐI CHUYÊN TOÁN-TIN KHỐI PHỔ THÔNG CHUYÊN
TRƯỜNG ĐHKHTN,ĐHQGHN, NĂM HỌC 2009-2010
VÒNG 1. (120')
Câu 1:
1. Giải pt:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E2-x+2%20=%202%5Csqrt%7Bx%5E2-x+1%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E2-x+2%20=%202%5Csqrt%7Bx%5E2-x+1%7D)
2. Giải hệ:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3x+y=y%5E2+3 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3x+y=y%5E2+3)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E2-y%5E2+xy=1 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E2-y%5E2+xy=1)
Câu 2:
1. Tìm chữ số tận cùng của số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?13%5E%7B13%7D+6%5E6+2009%5E%7B2009%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?13%5E%7B13%7D+6%5E6+2009%5E%7B2009%7D)
2. Cho a;b là các số thực dương. Tìm Min:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P%20=%20%5Cfrac%7Ba+b%7D%7B%5Csqrt%7Ba %284a+5b%29%7D+%5Csqrt%7Bb%284b+5a%29%7D%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P%20=%20%5Cfrac%7Ba+b%7D%7B%5Csqrt%7Ba %284a+5b%29%7D+%5Csqrt%7Bb%284b+5a%29%7D%7D)
Câu 3: Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Biết bán kính đg tròn ngoại tiếp tam giác ABC là a; tam giác ABD là b
a. Chứng minh: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7BAH%7D%7BBH%7D=%5Cfrac%7Ba%7D %7Bb%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7BAH%7D%7BBH%7D=%5Cfrac%7Ba%7D %7Bb%7D)
b. Tính diện tích hthoi ABCD theo http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a;b (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a;b)
Câu 4: Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a;b;c%20%3E%200 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a;b;c%20%3E%200). CMR:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B3a%5E2+ 8b%5E2+14ab%7D%7D+%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B3 b%5E2+8c%5E2+14cb%7D%7D+%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B%5Csq rt%7B3c%5E2+8a%5E2+14ac%7D%7D%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7 B1%7D%7B5%7D%28a+b+c%29 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B3a%5E2+ 8b%5E2+14ab%7D%7D+%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B3 b%5E2+8c%5E2+14cb%7D%7D+%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B%5Csq rt%7B3c%5E2+8a%5E2+14ac%7D%7D%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7 B1%7D%7B5%7D%28a+b+c%29)
VÒNG 2
Câu 1:
1)Giải phương trình:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?14%20%5Csqrt%7Bx+35%7D%20+6%20%5Csqrt% 7Bx+1%7D%20=84+%20%5Csqrt%7B%20x%5E%7B2%7D+36x+35% 7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?14%20%5Csqrt%7Bx+35%7D%20+6%20%5Csqrt% 7Bx+1%7D%20=84+%20%5Csqrt%7B%20x%5E%7B2%7D+36x+35% 7D)
2)Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B4+%201%5E%7B4%7D%20%7 D%20+%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4+%203%5E%7B4%7D%20%7D%20 +%20...%20+%20%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B4+%20%282n-1%29%5E%7B4%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B4%20n %5E%7B2%7D%20+1%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B4+%201%5E%7B4%7D%20%7 D%20+%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4+%203%5E%7B4%7D%20%7D%20 +%20...%20+%20%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B4+%20%282n-1%29%5E%7B4%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B4%20n %5E%7B2%7D%20+1%7D)
Câu 2:
1)Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n+1,n+5,n+7,n+13,n+17,n+25,n+37 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n+1,n+5,n+7,n+13,n+17,n+25,n+37) đều là số nguyên tố
2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a.b) thuộc tập hợp
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=%7B%2816,2%29,%284,32%29,%286,62%29, %2878,8%29%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=%7B%2816,2%29,%284,32%29,%286,62%29, %2878,8%29%7D) bằng cặp số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%28a+c,b+d%29, (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%28a+c,b+d%29,)trong đó cặp số (c,d) cũng thuộc M
Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp số
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_1=%7B%282018,702%29,%28844,2014%29,% 281056,2176%29,%282240,912%29 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_1=%7B%282018,702%29,%28844,2014%29,% 281056,2176%29,%282240,912%29) hay không?
Câu 3:
Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B .Trên đường thẳng AB ta lấy 1 điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM (M#A).Từ điểm M kẻ tới đường tròn (O') các tiếp tuyến MC,MD (C và D là tiếp điểm , C nằm ngoài (O).Đường thằng AC cắt lần thứ hai đường (O) tại điểm P và đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường (O) tại điểm Q .Đường thẳng CD cắt PQ tại K
1)Chứng minh hai tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BCD (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BCD) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BPQ (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BPQ) đồng dạng
Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua một điểm cố định.
Câu4:
Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x,y,z (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x,y,z) là những số thực thỏa mãn điều kiện http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0%20%5Cle%20x,y,z%20%5Cle%202 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0%20%5Cle%20x,y,z%20%5Cle%202) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x+y+z=3 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x+y+z=3)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=x%5E%7B4%7D%20+%20y%5E%7B4%7D%20+%20 z%5E%7B4%7D%20+12%281-x%29%281-y%29%281-z%29 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=x%5E%7B4%7D%20+%20y%5E%7B4%7D%20+%20 z%5E%7B4%7D%20+12%281-x%29%281-y%29%281-z%29)
Nguồn: maths.vn
TRƯỜNG ĐHKHTN,ĐHQGHN, NĂM HỌC 2009-2010
VÒNG 1. (120')
Câu 1:
1. Giải pt:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E2-x+2%20=%202%5Csqrt%7Bx%5E2-x+1%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E2-x+2%20=%202%5Csqrt%7Bx%5E2-x+1%7D)
2. Giải hệ:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3x+y=y%5E2+3 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3x+y=y%5E2+3)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E2-y%5E2+xy=1 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E2-y%5E2+xy=1)
Câu 2:
1. Tìm chữ số tận cùng của số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?13%5E%7B13%7D+6%5E6+2009%5E%7B2009%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?13%5E%7B13%7D+6%5E6+2009%5E%7B2009%7D)
2. Cho a;b là các số thực dương. Tìm Min:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P%20=%20%5Cfrac%7Ba+b%7D%7B%5Csqrt%7Ba %284a+5b%29%7D+%5Csqrt%7Bb%284b+5a%29%7D%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P%20=%20%5Cfrac%7Ba+b%7D%7B%5Csqrt%7Ba %284a+5b%29%7D+%5Csqrt%7Bb%284b+5a%29%7D%7D)
Câu 3: Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Biết bán kính đg tròn ngoại tiếp tam giác ABC là a; tam giác ABD là b
a. Chứng minh: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7BAH%7D%7BBH%7D=%5Cfrac%7Ba%7D %7Bb%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7BAH%7D%7BBH%7D=%5Cfrac%7Ba%7D %7Bb%7D)
b. Tính diện tích hthoi ABCD theo http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a;b (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a;b)
Câu 4: Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a;b;c%20%3E%200 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a;b;c%20%3E%200). CMR:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B3a%5E2+ 8b%5E2+14ab%7D%7D+%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B3 b%5E2+8c%5E2+14cb%7D%7D+%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B%5Csq rt%7B3c%5E2+8a%5E2+14ac%7D%7D%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7 B1%7D%7B5%7D%28a+b+c%29 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B3a%5E2+ 8b%5E2+14ab%7D%7D+%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B3 b%5E2+8c%5E2+14cb%7D%7D+%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7B%5Csq rt%7B3c%5E2+8a%5E2+14ac%7D%7D%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7 B1%7D%7B5%7D%28a+b+c%29)
VÒNG 2
Câu 1:
1)Giải phương trình:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?14%20%5Csqrt%7Bx+35%7D%20+6%20%5Csqrt% 7Bx+1%7D%20=84+%20%5Csqrt%7B%20x%5E%7B2%7D+36x+35% 7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?14%20%5Csqrt%7Bx+35%7D%20+6%20%5Csqrt% 7Bx+1%7D%20=84+%20%5Csqrt%7B%20x%5E%7B2%7D+36x+35% 7D)
2)Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B4+%201%5E%7B4%7D%20%7 D%20+%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4+%203%5E%7B4%7D%20%7D%20 +%20...%20+%20%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B4+%20%282n-1%29%5E%7B4%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B4%20n %5E%7B2%7D%20+1%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B4+%201%5E%7B4%7D%20%7 D%20+%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4+%203%5E%7B4%7D%20%7D%20 +%20...%20+%20%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B4+%20%282n-1%29%5E%7B4%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B4%20n %5E%7B2%7D%20+1%7D)
Câu 2:
1)Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n+1,n+5,n+7,n+13,n+17,n+25,n+37 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n+1,n+5,n+7,n+13,n+17,n+25,n+37) đều là số nguyên tố
2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a.b) thuộc tập hợp
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=%7B%2816,2%29,%284,32%29,%286,62%29, %2878,8%29%7D (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=%7B%2816,2%29,%284,32%29,%286,62%29, %2878,8%29%7D) bằng cặp số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%28a+c,b+d%29, (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%28a+c,b+d%29,)trong đó cặp số (c,d) cũng thuộc M
Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp số
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_1=%7B%282018,702%29,%28844,2014%29,% 281056,2176%29,%282240,912%29 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_1=%7B%282018,702%29,%28844,2014%29,% 281056,2176%29,%282240,912%29) hay không?
Câu 3:
Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B .Trên đường thẳng AB ta lấy 1 điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM (M#A).Từ điểm M kẻ tới đường tròn (O') các tiếp tuyến MC,MD (C và D là tiếp điểm , C nằm ngoài (O).Đường thằng AC cắt lần thứ hai đường (O) tại điểm P và đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường (O) tại điểm Q .Đường thẳng CD cắt PQ tại K
1)Chứng minh hai tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BCD (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BCD) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BPQ (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BPQ) đồng dạng
Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua một điểm cố định.
Câu4:
Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x,y,z (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x,y,z) là những số thực thỏa mãn điều kiện http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0%20%5Cle%20x,y,z%20%5Cle%202 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0%20%5Cle%20x,y,z%20%5Cle%202) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x+y+z=3 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x+y+z=3)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=x%5E%7B4%7D%20+%20y%5E%7B4%7D%20+%20 z%5E%7B4%7D%20+12%281-x%29%281-y%29%281-z%29 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=x%5E%7B4%7D%20+%20y%5E%7B4%7D%20+%20 z%5E%7B4%7D%20+12%281-x%29%281-y%29%281-z%29)
Nguồn: maths.vn