Bất đẳng thức kinh điển

[HuyToan]

Mọi người làm con này nhá................
1....Cho x,y,z >o và xyz=1,cmr:
\frac{x^3+2y^2}{x+y}+\frac{y^3+2z^2}{y+z}+\frac{z^ 3+2x^2}{x+z} \geq \frac{9}{2}
2....Cho x,y,z là số thực thỏa mãn x^2+y^2+z^2+4x-2z \leq 0
Tìm GTlN vag GTNN của P=2x+4y+2z
3....Cho x,y là số thực thỏa x^2+y^2+4x+6y \leq 0
Tìm GTLN và GTNN của P=x+y


Câu1: Dễ
Câu2,3: Khá, Hay...........

[_-CDD-_]

Cái này hỏi thuydaica .....................:smoke:

[thuydaica]

B2:
x^2+y^2+z^2+4x+4y \leq 0 \\

<=> (x+sqrt{\frac{5}{6}}+2)^2 + (y+2 sqrt{\frac{5}{6}})^2+(z+sqrt{\frac{5}{6}}-1)^2- 10 -2 sqrt{\frac{5}{6}} \leq sqrt{\frac{5}{14}}(2x+4y+2z)

=>P \geq - 2 sqrt{30}-2
dấu "=" xảy ra khi
\left\{ \begin{array}{l} x=-sqrt{\frac{5}{6}}-2 \\ y=-2 sqrt{\frac{5}{6}} \\ z=1-sqrt{\frac{5}{6}} \end{array} \right.



x^2+y^2+z^2+4x+4y \leq 0 \\
<=> (x-sqrt{\frac{5}{6}}+2)^2 + (y-2 sqrt{\frac{5}{6}})^2+(z-sqrt{\frac{5}{6}}-1)^2- 10+2 sqrt{\frac{5}{6}} \leq -sqrt{\frac{5}{6}}(2x+4y+2z)

=>P \leq -2 sqrt{30}+2
dấu "=" xảy ra khi
\left\{ \begin{array}{l} x=sqrt{\frac{5}{6}}-2 \\ y=2 sqrt{\frac{5}{6}} \\ z=sqrt{\frac{5}{6}}+1 \end{array} \right.
Vậy GTNN và GTLN của P lần lượt là - 2 sqrt{30}-2 và -2 sqrt{30}+2


Bài 3 dễ hơn bài 2
Bài 3: GTNN và GTLN là -6-sqrt{37} và -6+sqrt{37}

[Mr.Kenny]

Gặp ngay chuyên gia rồi. :grin::grin::grin::grin:

[Sevlyorum]

:fear:Nhìn đã thấy hoa mắt rồi :unhappy:

[HuyToan]

B2:
x^2+y^2+z^2+4x+4y \leq 0
<=> (x+sqrt{\frac{5}{14}}+2)^2 + (y+2 sqrt{\frac{5}{14}})^2+(z+sqrt{\frac{5}{14}}-1)^2- \frac{50}{7}-2 sqrt{\frac{5}{14}} \leq sqrt{\frac{5}{14}}(2x+4y+2z)
=>P \geq - \frac{10 sqrt{70}}{7}-2
dấu "=" xảy ra khi
\left\{ \begin{array}{l} x=-sqrt{\frac{5}{14}}-2 \\ y=-2 sqrt{\frac{5}{14}} \\ z=1-sqrt{\frac{5}{14}} \end{array} \right.



x^2+y^2+z^2+4x+4y \leq 0
<=> (x-sqrt{\frac{5}{14}}+2)^2 + (y-2 sqrt{\frac{5}{14}})^2+(z-sqrt{\frac{5}{14}}-1)^2- \frac{50}{7}+2 sqrt{\frac{5}{14}} \leq -sqrt{\frac{5}{14}}(2x+4y+2z)
=>P \leq \frac{10 sqrt{70}}{7}-2
dấu "=" xảy ra khi
\left\{ \begin{array}{l} x=sqrt{\frac{5}{14}}-2 \\ y=2 sqrt{\frac{5}{14}} \\ z=sqrt{\frac{5}{14}}+1 \end{array} \right.
Vậy GTNN và GTLN của P lần lượt là - \frac{10 sqrt{70}}{7}-2 và \frac{10 sqrt{70}}{7}-2


Bài 3 dễ hơn bài 2
Bài 3: GTNN và GTLN là -6-sqrt{37} và -6+sqrt{37}
nhưng cách này không phải là cái mà a bảo là hay.........tất nhiên là đúng nhưng hơi dài,có cách hay hơn thế này,nhìn cung gọn gàng mà lại không hay bị nhầm........cả 2 bài đều có cách giống hệt nhau........

[HuyToan]

ưkm,mà hình như đáp án của em sai rồi................

[HuyToan]

bài này của em sai rồi............
Phân tích thử xem nhé,......
cách của em là như thé này.......
đưa điều kiện đã cho về dạng
(x+a)^2+(y+b)^2+(z+c)^2+A \leq m(P)
SD kiến thức cơ bản: S^2 \geq 0 (2),
em kết luận P \leq \frac{A}{m} với x=-a,y=-b,z=-c là Sai,
Do (1) không phải luôn đúng với mọi x,y,z thuọc R, dấu = của 2 chưa chắc đã thỏa mãn dấu = của (1)............dẫn đến KL sai,....,
Thay lại kết kết quả của em nhé,....,
x=-2 -sqrt{\frac{5}{14}}, y=-2sqrt{\frac{5}{14}}, z=1-sqrt{\frac{5}{14}} vào P
ta có: P=-14-\frac{6sqrt{70}}{7} rõ ràng,không phải MinP...(theo đáp án của em)....xem lại xem
không biết anh có nhìn nhầm chỗ nào không? (em không gõ được kí hiệu Toán học,mong anh chị sửa giúp)

[thuydaica]

Em cũng nghĩ đến cái hình cầu với cái hình tròn. ......................................

[thuydaica]

X=-(2 +căn(5/14)), y=-2.căn(5/14), z=1-căn(5/14)....vào P
ta có: P=(-14-6.căn(70))/(7) rõ ràng,không phải MinP...(theo đáp án của em)....

ac

anh có thể vào đây để xem cách dùng latex http://chuyenhvt.net/forum/showthread.php?t=89&highlight=latex

[HuyToan]

ak\\\ ưh,chắc vậy,...,năm nay cố gắng giành giải nhé,hi vọng nhất vào em đấy.......cố gắng,nếu giải cách kia thi không cần phải chỉ ra dấu bắng......giống như cái miền giá trị ấy...........ok,thế nha....


ac
anh có thể vào đây để xem cách dùng latex http://chuyenhvt.net/forum/showthread.php?t=89&highlight=latex

đâu mà,thay vào là số 6,không phải là số 10

[thuydaica]

ak\\\ ưh,chắc vậy,...,năm nay cố gắng giành giải nhé,hi vọng nhất vào em đấy.......cố gắng,nếu giải cách kia thi không cần phải chỉ ra dấu bắng......giống như cái miền giá trị ấy...........ok,thế nha....



đâu mà,thay vào là số 6,không phải là số 10

Vâng
Đúng rồi.
...............................................
Thôi chết em nhầm rồi.

[HuyToan]

thì tại em chỉ xét dấu bằng có 1 cái còn điều kiện bài cho đâu phải luôn đúng!.....cứ làm theo cách kia thì không cần phải xét dấu bằng.........nó giống pp miền giá trị.ok....mà không làm bài 1 à,hay là dễ quá???

[thuydaica]

em sửa rồi. Lần này chắc không sai

[HuyToan]

ok........lần này dáp án giống anh.........hehe...thế nhá....nhầm như chơi.mà chỗ kia của em sai thế nào..............???

[thuydaica]

ok........lần này dáp án giống anh.........hehe...thế nhá....nhầm như chơi.mà chỗ kia của em sai thế nào..............???

Sai chỗ đơn giản thôi.
Như mà thay đổi hết mọi thứ.

[HuyToan]

thế dùng kĩ thuật nào để sửa lại?????????

[thuydaica]

Thì sai cái sqrt{\frac{5}{14}}

nó phải là sqrt{\frac{5}{6}}

chỉ sai như thế thôi

[HuyToan]

à....nếu em làm cách này thì tìm ra cái số đấy cũng không phải nhanh đâu..đúng không???? nhưng thực sự là anh rât phục mày........à,thê định thi trường nào,hay vào hoc chung Y với anh???hehe

[thuydaica]

à....nếu em làm cách này thì tìm ra cái số đấy cũng không phải nhanh đâu..đúng không???? nhưng thực sự là anh rât phục mày........à,thê định thi trường nào,hay vào hoc chung Y với anh???hehe

biến nó về x^2+y^2+z^2+(4+a)x+4ay +(2a-1)z \leq a(2x+4y+2z)
rồi tìm số a sao cho nó phù hợp là được.
em thích BK.

[HuyToan]

học Y là nghề nhan đạo......kaka......thế là thành 12 rồi nhé,..nhưng vâã là bọn trẻ con thôi....hehe

[HuyToan]

chú làm thử bài này xem:
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:a^2 + b^2 +c^2 =2
chứng minh rằng: a+b+c \leq 2+abc

[HuyToan]

chán thế...........không ai làm GIÚP mình bài này à.............hic

[thuydaica]

Bài này khó kinh.
Không làm được

[hai_12ly_09]

ui trời, lên đại học không có bất đẳng thức đâu. Bất đẳng thức khá hay nhưng phân môn giải tích cao cấp thú vị hơn nhiều, cũng có 1 ít bất đẳng thức hàm và bất đẳng thức tích phân đấy ! Mấy mem này học chuyên toán chắc học qua rồi. chán quá mình chưa được học.:zsweat:

[HuyToan]

Bài này khó kinh.
Không làm được

nghĩ tí đi,rât hay là nó lại không bình đẳng giữa a,b,c...nên dấu bằng không phải là a=b=c,mà là hoán vị của (1,1,0).....có nghĩ đi ku....

[thuydaica]

nghĩ tí đi,rât hay là nó lại không bình đẳng giữa a,b,c...nên dấu bằng không phải là a=b=c,mà là hoán vị của (1,1,0).....có nghĩ đi ku....

Em nghĩ mãi.
Làm mãi chả được.

[HuyToan]

Thủy bó tay,.thế không con ai nũa à.................?

[thuydaica]

Cho xin cái lời giải đi anh..................

[b4byb00_9x]

có cần phải show kiểu này k kưng????....

[thuydaica]

có cần phải show kiểu này k kưng????....

Có ý gì đây...............................??????????????? ??????????????

[b4byb00_9x]

k cóa ý j cả....chém tý cho zui thôi...:kill::kill:....:D....

[lnhoa]

Bài này hơi bị khó,mình nghĩ mãi chả ra,đành đem đi hỏi người khác.
Đây là lời giải của him

T=(a+b+c-abc)^2 \leq [a^2+(b+c)^2][(1-bc)^2+1] (BDT BCS)
Hay
T \leq (a^2+b^2+c^2+2bc)(2-2bc+b^2c^2) = (2+2bc)(2-2bc+b^2c^2) = S

Đặt t=bc,ta có do 2=a^2+b^2+c^2 \geq b^2+c^2 \geq 2bc nên t \leq 1

Mặt khác:
S -4 = (2+2t)(2-2t+t^2) -4= 2t^2(t-1) \leq 0
Do đó T \leq S \leq 4
Hay |a+b+c-abc| \leq 2

Dấu bắng xảy ra khi blah blah blah ...

Mấy bạn sau này học nhiều kĩ thuật giải BDT giải thích hộ tớ lời giải này,mình chả hiểu ý nó gì cả :|


According to the uvw-theorem the cases c=0 and a=b are left to prove.
The case c=0 is obvious.
If a=b, then the inequality is equivalent to 4a^2c^4+4a^2c^2(a-c)^2+c^4(2a-2c)^2 \ge 0