Định lý Noether và các định luật bảo toàn
Định lý Noether
Bạn hoaiminh có bài viết gần đây về các định luật bảo toàn trong cơ học, trong đó có nhắc đến sự liên quan giữa các định luật bảo toàn và các tính đối xứng. Ai muốn hiểu được vật lý hiện đại cũng phải “giác ngộ” được mối liên quan này.
Người khám phá ra sự liên quan giữa các định luật bảo toàn và tính chất đối xứng là một nhà toán học nữ người Đức tên là Emmy Noether. Trên Wikipedia có tiểu sử của bà này. Bà ta, do là phụ nữ, đã phải làm việc 7 năm không lương, và phải vượt qua rất nhiều khó khăn do sự kỳ thị của nhiều đồng nghiệp nam.
Định lý Noether nói rằng:
Mỗi đối xứng liên tục của Lagrangian tương ứng với một đại lượng bảo toàn.
Đây là cách phát biểu của các nhà vật lý. Có lẽ trong toán học định lý này có cách phát biểu chặt chẽ hơn, nhưng tôi không có thẩm quyền bàn về vấn đề này.
Đi vào cụ thể, như hoaiminh đã viết, ta có:
- Tính đồng nhất của không gian dẫn tới định luật bảo toàn động năng
- Tính đồng nhất của thời gian đẫn tới định luật bảo toàn năng lượng
- Tính đẳng hướng của không gian dẫn tới định luận bảo toàn mômen quay
Có lẽ định lý Noether là một định lý cơ bản nhất của vật lý hiện đại. Định lý này thường được trình bày ngay ở đầu các giáo trình về lý thuyết trường. Trong lý thuyết trường thậm chí các thuật ngữ “đối xứng” và “đại lượng bảo toàn” đôi khi được dùng lẫn lộn.
Ngoài các định luật bảo toàn trên, thực nghiệm cho thấy trong tự nhiên còn có các định luật bảo toàn sau:
- Định luật bảo toàn số baryon: đại khái, tổng số proton và nơtron trong vũ trụ không thay đổi.
-Định luật bảo toàn số lepton: tổng số electron và nơtrino của vũ trụ không thay đổi.
Cả hai định luật bảo toàn này đều liên quan đến các đối xứng của mô hình chuẩn.
(Tuy nhiên, theo nhiều lý thuyết mở rộng mô hình chuẩn, cả hai định luật này đều bị vi phạm, nhưng ở mức rất nhỏ.)
Một số trường hợp định lý Noether không ứng dụng được cũng rất hay.
Ví dụ 1:
Giả sử không gian bị chia ra làm đôi: một nửa là chân không, một nửa là nước. Bây giờ giả sứ ta chiếu một tia sáng về phía mặt nước. Theo quang học, tia sáng sẽ bị khúc xạ, tức là thay đổi hướng lan truyền khi đi từ chân không vào trong môi trường nước.
Nhưng ta còn biết ánh sáng làm từ các hạt gọi là photon. Xung lượng của photon là một vectơ hướng theo hướng lan truyền của ánh sáng. Như vậy xung lượng của hạt photon thay đổi khi đi từ chân không vào trong nước. Tại sao xung lượng lại có thể thay đổi được? Ta nhớ lại định lý Noether. Đối với mỗi hạt photon không gian không phải là đồng nhất: một nửa là chân không, một nửa là nước. Do đó xung lượng của hạt photon có thể thay đổi khi đi từ chân không vào nước.
Ví dụ 2:
Chắc nhiều người đã nghe nói đến bức xạ nền của vũ trụ. Bức xạ nền này là các photon tàn dư của một thời vũ trụ rất nóng, nhiệt độ khoảng 3000 Kelvin. Sau khi nhiệt độ của vũ trụ giảm xuống dưới con số này, bỗng dưng Vũ trụ trở nên trong suốt, và ánh sáng từ thời đó chạy trong vũ trụ tới tận bây giờ, không va chạm vào đâu cả.
Nhưng bức xạ nền của vũ trụ bây giờ rất lạnh, nhiệt độ chỉ là 3 Kelvin. Nếu xem xét từng photon một ta thấy rất lạ: mỗi photon này, lúc được tạo ra năng lượng là k * (3000 Kelvin) (k là hằng số Boltzmann), bây giờ năng lượng chỉ còn bằng k * 3 Kelvin. Tại sao năng lượng lại giảm đi tới 1000 lần như vậy?
Ta nhớ lại định lý Noether: năng lượng bảo toàn là do tính đồng nhất của thời gian, tức là các thời điểm khác nhau là như nhau. Nhưng khi nói đến quãng thời gian hơn 10 tỷ năm, thì thời gian không còn đồng nhất nữa: vũ trụ lúc trẻ không giống vũ trụ lúc bây giờ. Do đó, năng lượng của các photon trong bức xạ nền không bảo toàn.
[Chính xác hơn: vũ trụ được mô tả bằng một không gian Riemann với metric Friedmann-Robertson-Walker, ds2 = -dt2 + a2(t) (dx2 + dy2 +dz2). Khi a(t) thay đổi theo t, tính đồng nhất của thời gian không còn nữa (nhưng tính đồng nhất của không gian thì vẫn còn)].
Trong lịch sử, sự phát hiện ra bức xạ nền của vũ trụ là chứng cớ rất quan trọng cho thấy vũ trụ có giãn nở. Trước đây cón có lý thuyết vũ trụ tĩnh do nhà thiên văn học Anh Fred Hoyle và một số người khác đưa ra. Theo lý thuyết này Vũ trụ từ trước đến nay vẫn thế, không có vụ nổ lớn. Trong lý thuyết này thời gian hoàn toàn đồng nhất và năng lượng phải bảo toàn. Nhưng do các nguồn ánh sáng trong vũ trụ đều có nhiệt độ cao hơn 3 Kelvin, lý thuyết này không giải thích được nguồn gốc bức xạ nền (Fred Hoyle cho rằng bức xạ này là ánh sáng từ các ngôi sao xa xăm, photon chạy quãng đường quá xa bị “mệt”. Điều này vi phạm định luật bảo toàn năng lượng nên không được mấy ai chấp nhận). Lý thuyết vũ trụ tĩnh tới nay coi như đã bị loại trừ.
Đọc thêm:
-Định lý Noether trên MathPages:
http://www.mathpages.com/home/kmath564/kmath564.htm
-Bài báo của Noether có định lý mang tên mình: arXiv:physics/0503066
Đàm Thanh Sơn
Nguồn: Blog của GS. Ngô Bảo Châu
Http://thichhoctoan.wordpress.com/2009/06/24/d%E1%BB%8Bnh-ly-noether/
Các bài viết cùng chuyên mục:
- Tập hợp các đề thi thi các trường chuyên hà...
- Những bài tập khó mạch dao động lc - có lời...
- Phương pháp giải nhanh bài tập giao thoa sóng
- Fc big bang thì zô đơi...
- Chuyên Lý thì thế nào?
- Học trực tuyến Miễn Phí nè! ...
- Bản kiểm điểm bác học
- Phần mềm vẽ đồ thị vật lí, toán học chuyên...
- Giải tích cho vật lý
- khởi động mùa robocon 2009-2010
Trả lời kèm Trích dẫn
Đánh dấu