Vmo 2012

[luunhuhoa]

Kết quả ngày thứ nhất của học sinh trường mình làm thế nào.

Bài 1 dãy số với bài 2 cấp số cộng có vẻ ngon ăn quá nhỉ ?
Mọi người lên cập nhật cái :)

Them cai de nua


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012

-------- Ngày thi thứ nhất-------------



Thời gian 180 phút

Bài http://tools.jcisio.com/tex/?\boxed {1} (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27808) (5 điểm).
Cho dãy số thực http://tools.jcisio.com/tex/?(x_n) xác định bởi :
http://tools.jcisio.com/tex/?\begin{cases}<br /> & x_1=3\\ <br /> & x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2) <br /> \end{cases} <br />
với mọi http://tools.jcisio.com/tex/?n\geq 2.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi http://tools.jcisio.com/tex/?n\to\+\infty và Tính giới hạn đó.

Bài http://tools.jcisio.com/tex/?\boxed{2} (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27809) (5 điểm).
Cho các cấp số cộng http://tools.jcisio.com/tex/?(a_n), \ (b_n) và số nguyên http://tools.jcisio.com/tex/?m>2. Xét http://tools.jcisio.com/tex/?m tam thức bậc hai : http://tools.jcisio.com/tex/?P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m .
Chứng minh rằng nếu hai tam thức http://tools.jcisio.com/tex/?P_1(x),\ P_m(x) đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.

Bài http://tools.jcisio.com/tex/?\boxed{3} (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27811)(5 điểm) .
Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi http://tools.jcisio.com/tex/?ABCD nội tiếp đường tròn tâm http://tools.jcisio.com/tex/?O và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi http://tools.jcisio.com/tex/?M,N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng http://tools.jcisio.com/tex/?AB và http://tools.jcisio.com/tex/?CD, http://tools.jcisio.com/tex/?ADvà http://tools.jcisio.com/tex/?BC. Gọi http://tools.jcisio.com/tex/?P, Q, S, T tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp http://tools.jcisio.com/tex/?\angle MAN và http://tools.jcisio.com/tex/?\angle MBN, http://tools.jcisio.com/tex/?\angle MBN và http://tools.jcisio.com/tex/?\angle MCN, http://tools.jcisio.com/tex/?\angle MCN vàhttp://tools.jcisio.com/tex/? \angle MDN, http://tools.jcisio.com/tex/?\angle MDN và http://tools.jcisio.com/tex/?\angle MAN. Giả sử bốn điểm http://tools.jcisio.com/tex/?P, Q, S, T đôi một phân biệt.

1) Chứng minh rằng bốn điểm http://tools.jcisio.com/tex/?P, Q, S, T cùng nằm trên một đường tròn. Gọi http://tools.jcisio.com/tex/?I là tâm của đường tròn đó.

2) Gọi http://tools.jcisio.com/tex/?E là giao điểm của các đường chéo http://tools.jcisio.com/tex/? AC và http://tools.jcisio.com/tex/?BD. Chứng minh rằng ba điểm http://tools.jcisio.com/tex/?E, O, Ithẳng hàng.

Bài http://tools.jcisio.com/tex/?\boxed{4} (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27810) (5 điểm) .
Cho số nguyên dương http://tools.jcisio.com/tex/?n. Có http://tools.jcisio.com/tex/?n học sinh nam và http://tools.jcisio.com/tex/?n học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số http://tools.jcisio.com/tex/?2n học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của http://tools.jcisio.com/tex/?X. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả http://tools.jcisio.com/tex/?2n học sinh nhận được không vượt quá http://tools.jcisio.com/tex/?\frac{1}{3}n(n^2-1).

Mình mới làm đc bài 1 và bài 2:
Bài 1 thì chú ý dãy số giảm và x_n > 1+3/n, cm bằng quy nạp. Lim x_n = 1
Bài 2 thì có vẻ dễ: giả sử tồn tại k là số thứ tự đầu tiên mà có (a_k)^2 < 4b_k (k<m)
a_k = a_0 + k.a ; b_k= b_0+ k.b (a,b là công sai)
sẽ suy ra đc 1 cái là (m+k).a^2 +2a.a_0< 4b < (2k-1)a^2 +2a.a_0 (vô lý)

[thuydaica]

Thi quốc gia năm nay sớm quá nhỉ

Bài 4:

với mỗi người A bất kì, số kẹo mà A được phát bằng tích của số người khác giới với A đứng ở bên trái và bên phải A. số kẹo này gọi là số kẹo sinh ra từ A.

Xét 1 cách xếp bất kì của 2n học sinh này theo hàng ngang.
Ta kí hiệu cách xếp này bằng các chữ cái d và a được xếp cạnh nhau với d là nam, a là nữ
Với n=1 và n=2 dễ dàng kiểm tra được bài toán.
ta sẽ xét với n>2

Giả sử ta xét nhóm 4 người bất kì đứng liên tiếp nhau: rõ ràng tổng số kẹo sinh ra từ 1 người X bất kì không thuộc nhóm này sẽ không thay đổi nếu ta đổi vị trí nội bộ trong nhóm 4 người này ( do số người khác giới với X ở mỗi phía sẽ không có gì thay đổi vì nhóm người chọn ra ở 4 vị trí liên tiếp).
Khi xét nhóm ta gọi td,ta là số nam,nữ bên trái của của nhóm
pd,pa là số nam, nữ bên phải nhóm.

Với các xếp bất kì này ta sẽ thay đổi hàng loạt vị trí của các học sinh như sau:
xét từ trái qua phải nếu bắt đầu xuất hiện nhóm 4 người liên tiếp có 1 trong các dạng ddda,aaad,ddad,aada,ddaa,aadd thì ta sẽ đổi chỗ nội bộ của nhóm 4 người này.
Cụ thể như sau:
*) nếu ta gặp đầu tiên là dạng ddda ta sẽ đổi thành ddad. (nếu là aaad cũng làm tương tự)
ta có: td+pd=n-3;ta+pa=n-1;
dễ thấy td>=ta-1 do nếu ngược lại ta sẽ có ta>=td+2 khi đó sẽ có 2 nữ đứng cạnh nhau ở bên phía trái dãy đang xét, như thế sẽ không có chuyện gặp đầu tiên là ddda.
pa=n-1-ta>=n-1-td-1=n-2-td=pd+1
gọi S và S' là số kẹo trước và sau khi đổi chỗ. Do tổng số kẹo thay đổi chỉ phụ thuộc và nhóm 4 người đang xét nên
S'-S=2ta(pa+1)+(ta+1)pa+(td+2)(pd+1)-3ta(pa+1)-(td+3)pd
=2+td+pa-ta-pd >=2
tổng số kẹo tăng sau khi đổi.

*) nếu ta gặp đầu tiên là ddad ta sẽ đổi thành dadd. (nếu là aada cũng làm tương tự)
vẫn có: td+pd=n-3;ta+pa=n-1;
dễ thấy td=ta hoặc td=ta-1 ( vì chỉ có thể là adad...a|ddad|... hoặc dada...a|ddad|...)
khi đó S'-S=ta(pa+1)+2(ta+1)pa+(td+1)(pd+2)-2ta(pa+1)-(ta+1)pa-(td+2)(pd+1)
=pa+td-ta-pd
nếu td=ta thì pa-pd=2 => S'-S=2
nếu td=ta-1 thì pd=pa-1 => S'-S=0
như vậy tổng số kẹo không giảm.

*) nếu ta gặp đầu tiên là ddaa ta sẽ đổi thành dada. (nếu là aadd cũng làm tương tự)
tương tự như trên có td+pd=n-2;ta+pa=n-2;
và td=ta hoặc td=ta-1;
S'-S= ta(pa+2)+(ta+1)(pa+1)+(td+1)(pd+1)+(td+2)pd-2ta(pa+2)-2(td+2)pd
=2+pa+td-ta-pd
td=ta => pd=pa => S'-S=2
td=ta-1 => pd=pa+ 1=> S'-S=0
số kẹo không giảm.


Tiếp theo ta sẽ chứng minh việc thay đổi hàng loạt trên sẽ kết thúc:
ngay sau mỗi lần thay đổi ta chia dãy chữ thành 2 phần: phần bên trái gồm dãy bên trái và 2 chữ bên trái của nhóm 4 chữ đang xét (phần còn lại là phần bên phải).
ta ghi vào giữa 2 chữ cái liên tiếp của dãy bên trái số 0 nếu 2 chữ cái giống nhau, số 1 nếu 2 chữ cái khác nhau. gọi T là tổng của các số này.
nếu nhóm đang xét trước khi thay đổi là ddda (hoặc aaad) thì T không giảm còn lại T sẽ tăng thực sự.
dễ thấy nhóm đang xét trước khi thay đổi là ddda (hoặc aaad) chỉ xảy ra liên tiếp hữu hạn lần nên sau hữu hạn lần thay đổi T sẽ tăng thực sự.
Rõ rang T<2n nên đến một lúc nào đó quá trình xét nhóm và thay đổi sẽ dừng lại.
Lúc này sẽ thu được dãy gồm Nam Nữ xem kẽ nhau

Như vậy số kẹo ở cách xếp bất kì sẽ không vượt quá số kẹo ở cách xếp nam nữ xem kẽ.

Giả sử chiếc kẹo sinh ra bởi A do 2 người khác giới với A là B và C bị B và C ăn chung luôn.
Rõ ràng tổng số kẹo sinh ra là tổng số kẹo bị ăn.
Tổng số kẹo bị B và C cùng giới bất kì ăn là tổng số người khác giới ở giữa B và C.
gọi S(n) là tổng số kẹo của 2n người xếp xen kẽ được chia.
giả sử S(n)=1/3*n(n^2-1)
ta có S(n+1)=S(n)+2*(n+n-1+...+2+1)=1/3*n(n^2-1)+n(n+1)=1/3*(n+1)((n+1)^2-1)

=> điều phải chứng minh

[luunhuhoa]

-------- Ngày thi thứ hai-------------


Thời gian 180 phút

Bài http://tools.jcisio.com/tex/?\boxed{5} (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27846)(7 điểm). Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là http://tools.jcisio.com/tex/?G_1,%20G_2,%20G_3,%20G_4,%20G_5, và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi;
2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là http://tools.jcisio.com/tex/?G_1,%20G_2,%20G_3,%20G_4,%20G_5;
3/ Giữa http://tools.jcisio.com/tex/?G_1 và http://tools.jcisio.com/tex/?G_2 có ít nhất 3 chàng trai;
4/ Giữa http://tools.jcisio.com/tex/?G_4 và http://tools.jcisio.com/tex/?G_5 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?

(Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau).

Bài http://tools.jcisio.com/tex/?\boxed{6} (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27845) (7 điểm). Xét các số tự nhiên lẻ http://tools.jcisio.com/tex/?a,b mà http://tools.jcisio.com/tex/?a là ước số của http://tools.jcisio.com/tex/?b^2+2 và http://tools.jcisio.com/tex/?b là ước số của http://tools.jcisio.com/tex/?a^2+2. Chứng minh rằng http://tools.jcisio.com/tex/?a và http://tools.jcisio.com/tex/?b là các số hạng của dãy số tự nhiên http://tools.jcisio.com/tex/?(v_n) xác định bởi

http://tools.jcisio.com/tex/?v_1=v_2=1 và http://tools.jcisio.com/tex/?v_n=4v_{n-1}-v_{n-2} với mọi http://tools.jcisio.com/tex/?n%20\ge%203.

Bài http://tools.jcisio.com/tex/?\boxed{7} (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27844) (6 điểm). Tìm tất cả các hàm số http://tools.jcisio.com/tex/?f xác định trên tập số thực http://tools.jcisio.com/tex/?\mathbb%20R, lấy giá trị trong http://tools.jcisio.com/tex/?\mathbb%20R và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1/ http://tools.jcisio.com/tex/?f là toàn ánh từ http://tools.jcisio.com/tex/?\mathbb%20R đến http://tools.jcisio.com/tex/?\mathbb%20R;

2/ http://tools.jcisio.com/tex/?f là hàm số tăng trên http://tools.jcisio.com/tex/?\mathbb%20R;

3/ http://tools.jcisio.com/tex/?f(f(x))=f(x)+12x với mọi số thực http://tools.jcisio.com/tex/?x.


================================================== ====================
Đề năm nay có vẻ cơ bản:
Bài 1,2 mình thấy là 2 bài dễ nhất.
Bài 7 PTH có vẻ là 1 bài cơ bản và quen thuộc, có thể dễ dàng suy ra đc f là song ánh, rồi thế nào đó để dựa vào tính chất: cộng tính và đơn điệu thì tuyến tính. Hoặc cách chứng minh f tuyến tinh cũng dựa trên chứng minh của cái định lý trên, dựa vào mấy cái giới hạn gì đó.

Các đồng chí trường mình thi làm thế nào,update phát nhỉ :D

[thuydaica]

Bài 5:
đầu tiên tìm số cách xếp 5 cô gái trước
ta đặt 5 cô vào 5 ghế và đếm số cách chèn 12 ghế kia vào giữa các cô.

*)Xét trường hợp giữa G4 và G5 có k ghế (k=1,2,3,4)
xét các cách xếp 4 chữ G và 9-k chữ g thành 1 hàng ngang.
dễ thấy có (13-k)C4 cách xếp chữ G và g ở trên.
ta sẽ chứng minh đây chính là số cách xếp 5 cô gái vào ghế bằng cách tạo 1 song ánh:
với mối cách xếp chữ G và g như trên ta sẽ thay mỗi chữ g bằng 1 cái ghế. Chữ G thứ nhất thay bằng G1 và 3 cái ghế bên phải G1, Chữ G thứ hai và thứ 3 là G2 và G3. Chữ G thứ 4 là G4 và G5 cộng thêm k ghế giữa G4 và G5.
Giả sử có các cách xếp các chữ g và G để tạo ra cách xếp các cô gái và 12 ghế bất kì với x1,x2,x3,x4 là số ghế bên trái G1,G2,G3,G4; x5 là số ghế bên phải G5. Ta gọi x1',x2',x3',x4' là số chữ g bên trái chữ G thứ 1,2,3,4 và x5' là số chữ G bên phải chữ G thứ 4. Khi đó ta phải có x1'=x1,x2'=x2-3,x3'=x3,x4'=x4,x5'=x5 . Tức là chỉ có duy nhất 1 cách xếp chữ g và chữ G để tạo thành cách xếp các cô gái vào ghế như trên.=> đơn ánh
Với mỗi cách xếp các cô gái bất kì thỏa mãn bài toán ta sẽ có x2>=3, khi đó ta sẽ có cách xếp chữ g và chữ G với x1',x2',x3',x4',x5' xác định như trên.
Cho k=1,2,3,4 ta được tổng các cách xếp các cô gái vào ghế là 12C4+11C4+10C4+9C4

12 chàng trai xếp vào có 12! cách.

Vậy tổng các cách xếp cần tìm là (12C4+11C4+10C4+9C4)*12!

Xếp 5 cô gái vào ghế thực ra là đưa về tìm số nghiệm tự nhiên của pt x1+x2+x3+x4+x5+x6=12 thỏa mãn x2>=3, 1<=x5<=4.
Vẫn xét x5=1,2,3,4 thì đây là bài toán chia kẹo euler. Nói theo kiểu song ánh như trên thì hơi ảo

[HLN1994]

Bọn nó bảo với em là đề khó nhưng làm cũng tạm ổn. Hy vọng năm nay Toán sẽ có giải cao :D.
P/s: Nghe bảo bọn nó xin giấy viết lia lịa, chắc là ổn :D

[luunhuhoa]

Bài 7 tuy cơ bản nhưng cũng ko phải dễ lắm, mấu chốt cơ bản là f song ánh, f(0)=0 , rồi xét hàm ngược f-1(x). Xét dãy f-n(x) để đưa về công thức tổng quát tính theo x và f(x). Cho n đến vô cùng thì (-3)^(-n) và 4^(-n) tiến đến 0 từ đó suy ra yêu cầu cho x và f(x). Kết quả f(x) = 4x.

Bài 5 là bài toán chia kẹo euler như Thủy nói thì cũng là quen thuộc.

Như vậy mình thấy đề năm nay có bài 1,2 không khó, bài 7 và bài 5 là quen thuộc. Bài 7 cũng cần có mẹo khi xét chuỗi hàm ngược,nhưng tư duy logic cũng rõ ràng,ko có gì đặc biệt. Thêm phần a bài Hình dễ nữa (khéo chỉ đc 1 điểm của bài đó)
Một học sinh khá của đội có thể làm đc 4.5 bài. Làm tốt có thể 5, xuất sắc thì 6 bài. Làm hết 7 bài chắc khó :D

[luunhuhoa]

Kết quả thế nào thì cuối cùng các bạn học sinh cũng đã làm xong, các bạn là niềm tự hào của tỉnh Hòa Bình ;))
Có gì khi nào về HB thì mọi người giao lưu.

Đây là nhận xét và lời giải của thầy Nam Dũng về đề năm nay bên Mát Sờ Cốp.


[VMO 2012] Lời giải và bình luận
Để có thể có một cảm nhận đầy đủ về đề thi năm nay, tôi đã ngồi giải lại và trình bày cẩn thận lời giải của tất cả các bài toán. Trong lời giải này đã sử dụng ý lời giải của các bạn Mashimaru, Traum, chemthan và đặc biệt là phần hình học tôi phải nhờ bạn huynhcongbang trợ giúp (đọc đề bài hình muốn toát mồ hôi).

Tôi có đánh giá sơ bộ về đề thi năm nay như sau:

Đề thi năm nay khá phù hợp với các học sinh được trang bị kiến thức căn bản tốt, các bài toán đều có hướng đi tự nhiên, không có bài khó chịu (như bài 6 (hình học) năm ngoái) hoặc quá khó (như bài 7 - đa thức bất khả quy năm ngoái).

Hai bài dễ nhất là bài 1, 2. Đặc biệt là bài 2 dễ về mọi phương diện.

Tiếp đến là bài tổ hợp (bài 5) khá quen thuộc.

Bài hình có 2 ý thì 1 ý là khá dễ, ý còn lại khó hơn, đặc biệt là có hình vẽ khá rối.

Bài 4, 6, 7 có độ khó ngang nhau, trong đó bài 4 khó vì lạ, còn bài 6 thì khá quen thuộc nhưng khó về kỹ thuật. Bài 7 tuy quen mà lạ, trong đó ý tưởng quan trọng là phải xét hàm ngược để chuyển n --> -oo.

Các bài năm nay có đặc điểm là đều có thể kiếm được điểm thành phần.

Tôi dự đoán điểm chuẩn năm nay sẽ cao hơn năm ngoái một chút, nhưng cũng không quá nhiều.

Các bạn thí sinh cứ ăn tết vui vẻ trên tinh thần thoải mái, đừng quá lo lắng vì các bạn đã cố gắng hết sức mình rồi.

Tôi cũng mong nhận thêm những ý kiến và bình luận thêm từ phía các bạn học sinh và các thầy cô giáo. Chủ yếu là giúp các bạn học sinh học thêm được những điều hay trong PP học toán và giải toán.

http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27920

[luunhuhoa]

Tuyển thẳng thế này thì đứa nào thi Toán nữa, chuyển hết sang thi Tin học =))

http://thethaovanhoa.vn/397N20120312135253915T132/cong-bo-nganh-tuyen-thang-hoc-sinh-gioi-quoc-gia.htm


Đối với bậc đại học:

Đoạt giải môn Toán được vào học các ngành: Sư phạm Toán học, Toán học, Toán ứng dụng, Toán cơ, Thống kê, Công thôn.

Đoạt giải môn Vật lý được vào học các ngành: Sư phạm Vật lí, Vật lí học, Thiên văn học, Vật lí kĩ thuật, Kĩ thuật hạt nhân.

Đoạt giải môn Hóa học được vào học các ngành: Sư phạm Hóa học, Hóa học, Công nghệ kĩ thuật Hóa học, Công nghệ thực phẩm, Kĩ thuật Hóa học, Dược học, Khoa học môi trường.

Đoạt giải môn Sinh học được vào học các ngành: Sư phạm Sinh học, Sư phạm kĩ thuật nông nghiệp, Sinh học, Công nghệ sinh học, Kĩ thuật sinh học, Sinh học ứng dụng, Khoa học môi trường, Khoa học cây trồng, Chăn nuôi, Lâm nghiệp, Nuôi trồng thủy sản.

Đoạt giải môn Ngữ văn được vào học các ngành: Sư phạm Ngữ văn, Tiếng Việt và văn hóa Việt Nam, Sáng tác văn học, Văn hóa các dân tộc thiểu số Việt Nam, Việt Nam học, Văn học, Văn hóa học, Báo chí, Khoa học thư viện.

Đoạt giải môn Lịch sử được vào học các ngành:Sư phạm Lịch sử, Lịch sử, Bảo tàng học, Lưu trữ học.

Đoạt giải môn Địa lí được vào học các ngành: Sư phạm Địa lí, Địa lí học, Bản đồ học, Địa chất học, Địa lí tự nhiên, Thủy văn, Hải dương học.

Đoạt giải môn Tin học được vào học các ngành: Sư phạm Tin học, Khoa học máy tính, Truyền thông và mạng máy tính, Kĩ thuật phần mềm, Hệ thống thông tin, Công nghệ thông tin, Công nghệ kĩ thuật máy tính.

Đoạt giải môn Tiếng Anh được vào học các ngành: Sư phạm Tiếng Anh, Ngôn ngữ Anh, Quốc tế học.

Đoạt giải môn Tiếng Nga được vào học các ngành: Sư phạm Tiếng Nga, Ngôn ngữ Nga, Quốc tế học.

Đoạt giải môn Tiếng Trung được vào học các ngành: Sư phạm tiếng Trung Quốc, Trung Quốc học, Ngôn ngữ Trung Quốc, Hán nôm, Quốc tế học.

Đoạt giải môn Tiếng Pháp được vào học các ngành: Sư phạm Tiếng Pháp, Ngôn ngữ Pháp, Quốc tế học./.

[Chicharito_S]

toàn siêu nhân.pro gê