HLN1994
20-11-2010, 07:06 PM
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz , bất đẳng thức Cauchy , hoặc bằng cái tên khá dài là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, đặt theo tên của Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz, là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski-Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy.
Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì
http://wapedia.mobi/math/fFxsYW5nbGUgeCx5XHJhbmdsZXxeMiBcbGVxIFxsYW5nbGUgeC x4XHJhbmdsZSBcY2RvdCBcbGFuZ2xlIHkseVxyYW5nbGUu
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.
Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.
Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.
Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong
http://wapedia.mobi/math/IHxcbGFuZ2xlIHgseVxyYW5nbGV8IFxsZXEgXHx4XHwgXGNkb3 QgXHx5XHwuXCwg
Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885.
1. Chứng minh
Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <y, y> khác zero. Giả sử là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:
http://wapedia.mobi/math/IDAgXGxlcSBcbGVmdFx8IHgtXGxhbWJkYSB5IFxyaWdodFx8Xj IKPSBcbGFuZ2xlIHgtXGxhbWJkYSB5LHgtXGxhbWJkYSB5IFxy YW5nbGUgPSBcbGFuZ2xlIHgseCBccmFuZ2xlIC0gXGxhbWJkYS BcbGFuZ2xlIHgseSBccmFuZ2xlIC0gXGJhcntcbGFtYmRhfSBc bGFuZ2xlIHkseCBccmFuZ2xlICsgfFxsYW1iZGF8XjIgXGxhbm dsZSB5LHlccmFuZ2xlLiA=
Chọn
http://wapedia.mobi/math/IFxsYW1iZGEgPSBcbGFuZ2xlIHkseCBccmFuZ2xlIFxjZG90IF xsYW5nbGUgeSx5IFxyYW5nbGVeey0xfQ==
chúng ta được
http://wapedia.mobi/math/IDAgXGxlcSBcbGFuZ2xlIHgseCBccmFuZ2xlIC0gfFxsYW5nbG UgeCx5IFxyYW5nbGV8XjIgXGNkb3QgXGxhbmdsZSB5LHkgXHJh bmdsZV57LTF9
http://wapedia.mobi/math/IDAgXGxlcSBcbGFuZ2xlIHgseCBccmFuZ2xlIC0gfFxsYW5nbG UgeCx5IFxyYW5nbGV8XjIgXGNkb3QgXGxhbmdsZSB5LHkgXHJh bmdsZV57LTF9
mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi
http://wapedia.mobi/math/IHxcbGFuZ2xlIHgseSBccmFuZ2xlfF4yIFxsZXEgXGxhbmdsZS B4LHggXHJhbmdsZSBcY2RvdCBcbGFuZ2xlIHkseSBccmFuZ2xl IA==
http://wapedia.mobi/math/IHxcbGFuZ2xlIHgseSBccmFuZ2xlfF4yIFxsZXEgXGxhbmdsZS B4LHggXHJhbmdsZSBcY2RvdCBcbGFuZ2xlIHkseSBccmFuZ2xl IA==
hay tương đương:
http://wapedia.mobi/math/IFxiaWd8IFxsYW5nbGUgeCx5IFxyYW5nbGUgXGJpZ3wKXGxlcS BcbGVmdFx8eFxyaWdodFx8IFxsZWZ0XHx5XHJpZ2h0XHwuIA==
(điều phải chứng minh)
2. Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý
Trong trường hợp không gian Euclide R^n, bất đẳng thức này trở thành
http://wapedia.mobi/math/XGxlZnQoXHN1bV97aT0xfV5uIHhfaSB5X2lccmlnaHQpXjJcbG VxIFxsZWZ0KFxzdW1fe2k9MX1ebiB4X2leMlxyaWdodCkgXGxl ZnQoXHN1bV97aT0xfV5uIHlfaV4yXHJpZ2h0KS4=. Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: http://wapedia.mobi/math/fFxtYXRoYmZ7eH0gXGNkb3QgXG1hdGhiZnt5fXwgPSB8XG1hdG hiZnt4fXwgfFxtYXRoYmZ7eX18IHxcY29zIFx0aGV0YXwgXGxl IHxcbWF0aGJme3h9fCB8XG1hdGhiZnt5fXw= . Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:
http://wapedia.mobi/math/XGxhbmdsZSB4LHhccmFuZ2xlIFxjZG90IFxsYW5nbGUgeSx5XH JhbmdsZSA9IHxcbGFuZ2xlIHgseVxyYW5nbGV8XjIgKyB8eCBc dGltZXMgeXxeMi4=
Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức
*Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có
http://wapedia.mobi/math/XGxlZnR8XGludCBmKHgpZyh4KVwsZHhccmlnaHR8XjJcbGVxXG ludCBcbGVmdHxmKHgpXHJpZ2h0fF4yXCxkeCBcY2RvdCBcaW50 XGxlZnR8Zyh4KVxyaWdodHxeMlwsZHgu
Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.
Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz
http://wapedia.mobi/math/IFxmcmFjIHsoYV8xICsgYV8yICsgLi4uK2Ffe24tMX0rIGFfbi leMn17Yl8xICsgYl8yICsgLi4rIGJfe24tMX0gKyBiX259IFxs ZXEgXGZyYWMge2FfMV4yfXtiXzF9ICsgXGZyYWMge2FfMl4yfX tiXzJ9ICsuLi4rIFxmcmFjIHthX3tuLTF9XjJ9e2Jfe24tMX19 ICsgXGZyYWMge2Ffbl4yfXtiX259IA==
3. Một vài ứng dụng
Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau: cho các vector x và y,
http://wapedia.mobi/math/XHx4ICsgeVx8XjI=http://wapedia.mobi/math/PSBcbGFuZ2xlIHggKyB5LCB4ICsgeSBccmFuZ2xl
http://wapedia.mobi/math/PSBcfHhcfF4yICsgXGxhbmdsZSB4LCB5IFxyYW5nbGUgKyBcbG FuZ2xlIHksIHggXHJhbmdsZSArIFx8eVx8XjI=
http://wapedia.mobi/math/XGxlIFx8eFx8XjIgKyAyfFxsYW5nbGUgeCwgeSBccmFuZ2xlfC ArIFx8eVx8XjI=
http://wapedia.mobi/math/XGxlIFx8eFx8XjIgKyAyXHx4XHxcfHlcfCArIFx8eVx8XjI=
http://wapedia.mobi/math/XGxlIFxsZWZ0KFx8eFx8ICsgXHx5XHxccmlnaHQpXjI=
Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh
Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì
http://wapedia.mobi/math/fFxsYW5nbGUgeCx5XHJhbmdsZXxeMiBcbGVxIFxsYW5nbGUgeC x4XHJhbmdsZSBcY2RvdCBcbGFuZ2xlIHkseVxyYW5nbGUu
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.
Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.
Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.
Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong
http://wapedia.mobi/math/IHxcbGFuZ2xlIHgseVxyYW5nbGV8IFxsZXEgXHx4XHwgXGNkb3 QgXHx5XHwuXCwg
Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885.
1. Chứng minh
Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <y, y> khác zero. Giả sử là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:
http://wapedia.mobi/math/IDAgXGxlcSBcbGVmdFx8IHgtXGxhbWJkYSB5IFxyaWdodFx8Xj IKPSBcbGFuZ2xlIHgtXGxhbWJkYSB5LHgtXGxhbWJkYSB5IFxy YW5nbGUgPSBcbGFuZ2xlIHgseCBccmFuZ2xlIC0gXGxhbWJkYS BcbGFuZ2xlIHgseSBccmFuZ2xlIC0gXGJhcntcbGFtYmRhfSBc bGFuZ2xlIHkseCBccmFuZ2xlICsgfFxsYW1iZGF8XjIgXGxhbm dsZSB5LHlccmFuZ2xlLiA=
Chọn
http://wapedia.mobi/math/IFxsYW1iZGEgPSBcbGFuZ2xlIHkseCBccmFuZ2xlIFxjZG90IF xsYW5nbGUgeSx5IFxyYW5nbGVeey0xfQ==
chúng ta được
http://wapedia.mobi/math/IDAgXGxlcSBcbGFuZ2xlIHgseCBccmFuZ2xlIC0gfFxsYW5nbG UgeCx5IFxyYW5nbGV8XjIgXGNkb3QgXGxhbmdsZSB5LHkgXHJh bmdsZV57LTF9
http://wapedia.mobi/math/IDAgXGxlcSBcbGFuZ2xlIHgseCBccmFuZ2xlIC0gfFxsYW5nbG UgeCx5IFxyYW5nbGV8XjIgXGNkb3QgXGxhbmdsZSB5LHkgXHJh bmdsZV57LTF9
mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi
http://wapedia.mobi/math/IHxcbGFuZ2xlIHgseSBccmFuZ2xlfF4yIFxsZXEgXGxhbmdsZS B4LHggXHJhbmdsZSBcY2RvdCBcbGFuZ2xlIHkseSBccmFuZ2xl IA==
http://wapedia.mobi/math/IHxcbGFuZ2xlIHgseSBccmFuZ2xlfF4yIFxsZXEgXGxhbmdsZS B4LHggXHJhbmdsZSBcY2RvdCBcbGFuZ2xlIHkseSBccmFuZ2xl IA==
hay tương đương:
http://wapedia.mobi/math/IFxiaWd8IFxsYW5nbGUgeCx5IFxyYW5nbGUgXGJpZ3wKXGxlcS BcbGVmdFx8eFxyaWdodFx8IFxsZWZ0XHx5XHJpZ2h0XHwuIA==
(điều phải chứng minh)
2. Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý
Trong trường hợp không gian Euclide R^n, bất đẳng thức này trở thành
http://wapedia.mobi/math/XGxlZnQoXHN1bV97aT0xfV5uIHhfaSB5X2lccmlnaHQpXjJcbG VxIFxsZWZ0KFxzdW1fe2k9MX1ebiB4X2leMlxyaWdodCkgXGxl ZnQoXHN1bV97aT0xfV5uIHlfaV4yXHJpZ2h0KS4=. Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: http://wapedia.mobi/math/fFxtYXRoYmZ7eH0gXGNkb3QgXG1hdGhiZnt5fXwgPSB8XG1hdG hiZnt4fXwgfFxtYXRoYmZ7eX18IHxcY29zIFx0aGV0YXwgXGxl IHxcbWF0aGJme3h9fCB8XG1hdGhiZnt5fXw= . Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:
http://wapedia.mobi/math/XGxhbmdsZSB4LHhccmFuZ2xlIFxjZG90IFxsYW5nbGUgeSx5XH JhbmdsZSA9IHxcbGFuZ2xlIHgseVxyYW5nbGV8XjIgKyB8eCBc dGltZXMgeXxeMi4=
Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức
*Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có
http://wapedia.mobi/math/XGxlZnR8XGludCBmKHgpZyh4KVwsZHhccmlnaHR8XjJcbGVxXG ludCBcbGVmdHxmKHgpXHJpZ2h0fF4yXCxkeCBcY2RvdCBcaW50 XGxlZnR8Zyh4KVxyaWdodHxeMlwsZHgu
Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.
Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz
http://wapedia.mobi/math/IFxmcmFjIHsoYV8xICsgYV8yICsgLi4uK2Ffe24tMX0rIGFfbi leMn17Yl8xICsgYl8yICsgLi4rIGJfe24tMX0gKyBiX259IFxs ZXEgXGZyYWMge2FfMV4yfXtiXzF9ICsgXGZyYWMge2FfMl4yfX tiXzJ9ICsuLi4rIFxmcmFjIHthX3tuLTF9XjJ9e2Jfe24tMX19 ICsgXGZyYWMge2Ffbl4yfXtiX259IA==
3. Một vài ứng dụng
Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau: cho các vector x và y,
http://wapedia.mobi/math/XHx4ICsgeVx8XjI=http://wapedia.mobi/math/PSBcbGFuZ2xlIHggKyB5LCB4ICsgeSBccmFuZ2xl
http://wapedia.mobi/math/PSBcfHhcfF4yICsgXGxhbmdsZSB4LCB5IFxyYW5nbGUgKyBcbG FuZ2xlIHksIHggXHJhbmdsZSArIFx8eVx8XjI=
http://wapedia.mobi/math/XGxlIFx8eFx8XjIgKyAyfFxsYW5nbGUgeCwgeSBccmFuZ2xlfC ArIFx8eVx8XjI=
http://wapedia.mobi/math/XGxlIFx8eFx8XjIgKyAyXHx4XHxcfHlcfCArIFx8eVx8XjI=
http://wapedia.mobi/math/XGxlIFxsZWZ0KFx8eFx8ICsgXHx5XHxccmlnaHQpXjI=
Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh