Find a True Love

[hoaln]

Bài toán tìm true love luôn là bài toán quan tâm hàng đầu của anh em,từ quái thú rừng xanh Tazan đến siêu nhân phòng Lab như Edinson.( Các đối tượng còn lại không chấp :D )


Có 1 nghiên cứu đã chỉ ra,người có ít cơ hội dating hơn chưa chắc đã có XS tìm được người thích hợp thấp hơn những cao thủ như "anh chàng vui tính" .

Nếu anh A là mù nặng,chỉ date được với 1 cô,XS anh này tìm được người thích hợp là 100%
Nếu A khá hơn chỉ mù dở,date được với 2 em thì XS là 50%.Cũng không tệ
Bây giờ xét bài toán với trường hợp lớn hơn ta phải thêm các giả thiết cho bài toán:

- anh XXX của chúng ta chỉ có khả năng date được với số cố định cô là N(cao thấp tùy level của XXX,có nhà mặt phố,bố làm to ko ?)
- anh XXX chỉ date với từng người vào 1 thời điểm,date xong em này mới đến em kia,ko có chuyện bắt cá 2 tay.
- anh XXX chỉ có 2 lựa chọn: reject(chia tay mãi mãi) và select (đeo gông mãi mãi).Sau khi đeo gông rồi thì coi như ko được date nữa.
- anh XXX ko có tiêu chuẩn tuyệt đối cho TrLv,tức là nếu gặp cô YYY,ko thể nói YYY chính là ng mình cần tìm mà chỉ có thể nói YYY tốt hơn ZZZ …Xét trường hợp đơn giản với N=3 .


Nếu anh XXX chỉ chọn em 1,hoặc cô 2 hoặc bà 3 thì XS kiếm được TrLv là 1/3.
Nếu anh XXX quyết định reject em đầu tiên và,chọn em thứ 2 nếu em này tốt hơn em 1.Nếu em này dở hơn em 1 thì chọn em thứ 3.Theo cách này,XS để chọn được TrLv là 1/3+1/2*1/3=1/2 > 1/3

Bài học ở đây là:với N người,chọn k người date thử để lấy thông tin (tất nhiên reject all) sau đó dựa vào những thông tin đã có để chọn người đầu tiên gặp được tốt hơn k người kia.
Câu hỏi đặt ra là K BẰNG BAO NHIÊU THÌ ĐỦ ????

Ta tính với trường hợp reject k người đầu để lấy thông tin,sau đó làm theo chiến thuật như trên.XS tìm được sẽ là:
http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?P%28k%29%20=%5Cfrac%7Bk%7D%7BN%7D%28%5 Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk+1%7D+... +%5Cfrac%7B1%7D%7BN-1%7D%29
Điều kiện cho k là k đầu tiên thỏa mãn
http://mindyourdecisions.com/blog/wp-content/uploads/2008/01/love_series.png
khi đó http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?P%28k%29%20%5Cgeq%20max%20%7B%28P%28k+ 1%29,P%28k-1%29%7D%29
Cái này thì viết chương trình để tìm thoai.
http://farm4.static.flickr.com/3289/2771731416_871117e09a.jpg?v=0
Chạy cái này thì thử
với N= 10;50 ;100;150;200;1987(cái này vô đối)
thì k=3;18;37;55;73;731;
giá trị tỷ lệ k/N tương ứng là 0.3;0.36;0.37;0.3667;0.365;0.3679 đều xoay quanh giá trị 0.367.Vật ở đây có quy luật gì không ?
Bây giờ ta thử “liên tục hóa” cái biểu thức xác suất kia thành:
http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?P%28%5Cfrac%7Bk%7D%7BN%7D%29%5Capprox% 20%5Cfrac%7Bk%7D%7BN%7D%5Cint_%7Bk%7D%5E%7BN-1%7D%7B%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%7D%7D=%5Cfrac%7Bk%7D%7B N%7D%7Bln%28%5Cfrac%7BN-1%7D%7Bk%7D%29%7D%5Capprox%20%5Cfrac%7Bk%7D%7BN%7D ln%28%5Cfrac%7BN%7D%7Bk%7D%29 (vì N rất lớn)
coi x = k/N là biến,ta có P(x) =-xln(x);
http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?P%27%28x%29=-ln%28x%29-1=0%5CLeftrightarrow%20x=%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D=0.3 679
Tóm lại ta có kết luận,muốn đạt được XS tìm được TrLv là maximum thì buộc phải reject 37% cuộc tình đầu tiên trong đời.Điều này giải thích vì sao các mối tình đầu chả ra cái vị gì http://hoadktd.byethost13.com/wp-includes/images/smilies/icon_biggrin.gif

[jaschabee]

ack,ack anh gì ơi
Cái này anh nghĩ ra ah.Ai giỏi Toán giải thích dùm em với ???? (Hay mấy anh nick nhiều màu trên kia giải thích hộ em với :( )

Nếu anh XXX quyết định reject em đầu tiên và,chọn em thứ 2 nếu em này tốt hơn em 1.Nếu em này dở hơn em 1 thì chọn em thứ 3.Theo cách này,XS để chọn được TrLv là 1/3+1/2*1/3=1/2 > 1/3
Hóa ra là xác suất tìm được ng yêu đích thực chỉ có 37% thôi ạ :(
Chết thật.
Mình 1 người vẫn chưa xong :D

Cái này ko tính đến trường hợp yêu đơn phương hả anh ơi ? Em chọn cô ấy nhưng nó thích đứa khác thì sao :( Mình có phai zeus đâu :D

[lnhoa]

Bài toán này có tên là Secretary problem,mọi người có thể đọc wiki để biết thêm về nó nhé.
http://en.wikipedia.org/wiki/Secretary_problem

Trong tạp chí Plus có 1 bài tương tự nói về luật 37% này,bản dịch của Lưu Minh Đức-GV trường PTNK HCM,mình copy&paste lại cho mọi người đọc nhé.


HOÀNG TỬ ẾCH VÀ XÁC SUẤT
LƯU MINH ĐỨC
Phỏng dịch theo bản gốc
Kissing frog: a mathematician’s guide to mating

Chắc mọi người ai cũng đều biết câu chuyện Hoàng Tử Ếch. Đây là 1 phiên bản khác của câu chuyện ấy, hơi phức tạp hơn.
HOÀNG TỬ ẾCH
Một nàng công chúa đi lạc vào 1 khu rừng nọ. Đến 1 cái ao thì 1 mụ phù thủy hiện ra và nói “Đứng lại nào, con bé kia! Ta đã biến 1 hòang tử đẹp trai thành con ếch và giam cầm nó trong cái ao này cùng với 99 con ếch khác. Mỗi con ếch đều mang 1 số trên lưng và con số của hoàng tử là lớn nhất. Đấy là cách duy nhất để ngươi nhận ra nó từ trong lũ ếch. Nếu ngươi muốn rời khòi khu rừng đã bị ếm bùa này, ngươi phải tìm ra hoàng tử và hôn nó. Mỗi con ếch sẽ lần lượt nhảy lên khỏi hồ. Khi mổi conj ếch xuất hiện, ngươi phải quyết định hôn nó hay đá nó trở lại vào ao, và mỗi con ếch chỉ nhảy lên đúng 1 lần mà thôi. Nếu ngươi hôn phải ếch thật hoặc không chịu hôn con nào thì ngươi sẽ không thể rời khu rừng và hoàng tử thì vĩnh viễn ở lại trong hồ. Và với 1 tràng cười quỷ quyệt, mụ ta chìm trở lại xuống hồ. Rất may, công chúa của chúng ta rất giỏi toán và đã tìm được chiến lược tốt nhất để quyết định nên hôn chú ếch nào.
Chú ếch 1 nhảy ra với số 2 trên lưng và thế là bị đá trở laị vô hồ, chú ếch 2 mang số 12 (có khá hơn) nhưng cũng chung số phận với chú thứ nhất. Chú thứ 3 mang số -6 trên lưng (đâu có quy định các chú ếch chỉ mang toàn số dương!) và dĩ nhiên là vô hồ ngay. Công chúa lặp lại điều này với cả 37 chú ếch đầu tiên và nhận thấy rằng số lớn nhất đã xuất hiện là 23.2 (cũng không quy định là các chú ếch chỉ mang toàn số nguyên). Thế là cô đợi đến khi có chú ếch mang số lớn hơn 23.2 và hôn nó (dĩ nhiên chú ếch mang số 23.2 có thể chính là hoàng tử và cô có thể đã bỏ lỡ cơ hội duy nhất đó!). Chú ếch biến mất sau 1 tiếng nổ “bụp” và 1 hoàng tử đẹp trai xuất hiện. Thế là họ sống hạnh phúc mãi mãi (còn nếu bạn thích kết cục bất hạnh thì: mụ phù thủy hiện lên cười đắc thắng khi chú ếch vẫn y nguyên trước sự chú ý hết mực của công chúa. Ôi trời, vẫn còn chú ếch mang số lớn hơn chưa xuất hiện! ).
QUY TẮC 37%
Chiến lược của công chúa là trước tiên thu thập 1 số thông tin về các chú ếch (cô ấy ghi nhớ số lớn nhất trong số 37 chú đầu tiên) và rồi lựa chọn dựa trên thông tin này (cô hôn chú ếch mang số cao hơn tiếp theo). Nếu số ếch là khác, cô ấy nên thu thập thông tin từ bao nhiêu con trước khi quyết định hôn? Câu trả lời là 37% của số ếch tổng cộng. Tại sao lại 37%? Nếu bạn biết các quy tắc đếm và biết rằng nguyên hàm của 1/x là , bạn có thể theo các suy luận logic dưới đây để hiểu được kết luận này.
CM quy tắc 37%
Ta hãy xét bài toán tổng quát
Có N chú ếch. Cần phải đá hết bao nhiêu chú xuống hồ để xác suất hôn trúng hoàng tử là lớn nhất?
Giả sử cần đá M chú ếch đầu tiên xuống hồ và rồi hôn chú ếch đầu tiên mà có số cao hơn M chú ban đầu này. Để xác định M ta cần tìm ra khả năng hôn trúng hoàng tử là bao nhiêu, tùy thuộc vào chuyện anh ta có xuất hiện trong dãy từ M+1 đến N hay không.

Nếu anh ta nằm trong M chú đầu tiên, thảm họa, công chúa đã bỏ qua anh ta.
Nếu anh ta là chú ếch thứ M+1, thành công, công chúa chắc chắn sẽ hôn anh ta.
Nếu anh ta là chú ếch thứ M+2, công chúa sẽ hôn anh ta trừ trường hợp xui xẻo là chú ếch thứ M+1 lại mang số cao hơn M chú đầu tiên. Tuy nhiên khà năng trường hợp xui xẻo này xảy ra chỉ là 1/(M+1) (vì số các hoán vị của M+1 chú ếch trong đó chú ở vị trí M+1 mang số cao nhất cũng bằng số các hoán vị của M+1chú mà chú mang số cao nhất ở vị trí bất kỳ. Nếu vẫn chưa rõ, hãy tính cụ thể xác suất này ra, bạn sẽ hiểu ngay). Do đó xác suất mà công chúa hôn trúng hoàng tử sẽ là
1- \frac{1}{M+1} = \frac{M}{M+1}

Tương tự nếu anh ta là chú ếch thứ M+3 thì công chúa sẽ hôn trúng anh ta trừ phi chú ếch thứ M+1 hoặc M+2 mang số cao nhất trong M+2 chú đầu tiên. Do đó xác suất công chúa hôn trúng hoàng tử sẽ là

1- \frac{2}{M+2} = \frac{M}{M+2}

Và cứ thế cho đến khi
………………………………………………………………………………………
Nếu anh ta là chú ếch thứ N thì công chúa sẽ hôn trúng anh ta trừ phi trong số các chú ếch từ M+1đến N-1có chú ếch mang số cao nhất trong N-1 chú ếch đầu tiên. Do đó xác suất hôn trúng hoàng tử trong trường hợp này sẽ là

1- \frac{N-M-1}{N-1} = \frac{M}{N-1}

Hơn nữa xác suất để hoàng tử ở 1 trong các vị trí từ M+1 đến N đều là 1/N(check this) . Do đó cuối cùng ta tìm được xác suất để hôn trúng hoàng tử sau khi đã đá xuống hồ M chú ếch đầu tiên là:

P(M,N)= \frac{1}{N} (1+ \frac{M}{M+1} + \frac{M}{M+2}+ ... +\frac{M}{N-1} )
= \frac{M}{N} ( \frac{1}{M} + \frac{1}{M+1} + ... + \frac{1}{N-1} )

Ta muốn chọn M sao cho xác suất này là lớn nhất, tức là :
P(M,N) \geq P(k,N) \forall 1 \leq k \leq N
Trước hết để đơn giản ta chọn M sao cho
P(M,N) \geq P(M-1,N) và P(M,N) \geq P(M+1,N)

Từ đó suy ra:
f(M,N) > 1 > f(M+1,N) với:
f(M,N) = \sum_{i=M}^{N-1}{\frac {1}{i}}

Với N=100 ta có thể nhờ máy tính vẽ đồ thị của hàm f(M,100) và tìm ra M=37.
http://farm4.static.flickr.com/3298/3294346847_a730b1d789_o.jpg
Với N=1000, từ đồ thị ta tìm ra M=368
http://farm4.static.flickr.com/3385/3295170760_1e691d21b7_o.jpg
Bây giờ ta sẽ vẽ đồ thị của tỉ số M/N để các bạn có thể chọn M theo các giá trị N khác nhau
http://farm4.static.flickr.com/3348/3295170784_d8f55c238e_o.jpg

Khi N lớn dần ta có thể thấy rằng tỉ lệ ếch mà công chúa nên đá xuống hồ trước khi quyết định hôn là xấp xỉ 37%. Nhưng tại sao? Ta có thể chính xác hơn được không? Ta có thể ước lượng độ lớn của hàm f(M,N) khi N rất lớn hay không? Phần tiếp theo sẽ nêu rõ điều này.
Do f(M,N) là tổng các nghịch đảo của các số từ M đến N-1 nên ta ước lượng hàm f dựa theo hàm y=1/x. Hãy xem đồ thị dưới đây:

http://farm4.static.flickr.com/3448/3294347949_313471dd18.jpg?v=0

Tổng diện tích của các khối hình chữ nhật màu xanh chính là f(M,N)
Rõ ràng tổng diện tích này lớn hơn diện tích S nằm bên dưới đường cong y=1/x, mà S ta tính được bằng phép tính tích phân là:
S = \int_{M}^{N} {\frac{1}{x} dx} = ln x|_{M}^{N} = lnN - lnM = ln \frac{N}{M}

Vậy ta có f(M,N) > ln(N/M)
Bây giờ ta xét đồ thị kế tiếp
http://farm4.static.flickr.com/3659/3294353289_0e45e56eae_o.jpg
Lúc này rõ ràng phần diện tích bên dưới đường cong lớn hơn tổng diện tích các hình chữ nhật
S = \int_{M+1}^{N} {\frac{1}{x} dx} > \sum_{i=M+1}^{N-1}{\frac{1}{i}}

Kết hợp cả 2 đánh giá trên ta được

f(M,N) > ln(\frac{N}{M}) >ln(\frac{N}{M+1})>f(M+1,N)
Tuy nhiên ta đang muốn tìm M (theo N) sao cho
f(M,N) >1>f(M+1,N);khi N rất lớn thì ta chỉ cần ln(N/M)=1 hay N/M=e =0.3679

Nhưng với M này thì xác suất hôn trúng hoàng tử là bao nhiêu. Nhớ lại công thức tính xác suất này ta được
P(M,N) \approx {\frac{1}{e}}. ln(\frac{N}{M}) \approx \frac{1}{e} \approx 0.3679

Vậy khi áp dụng quy tắc này thì xs hôn trúng hoàng tử là cỡ 37%, và đó là chiến lược tốt nhất mà công chúa có thể áp dụng.
Tuy nhiên đá hết 37% của 1 triệu chú ếch xuông hồ rồi mới quyết định hôn chú cao hơn tiếp theo thì cũng rất lâu. Vẫn còn chuyện phải suy nghĩ trong mô hình của chúng ta.
Hãy cưới đúng hòang tử của mình nhé
Bạn đã đoán ra ý của tôi chưa, tôi đang nói về một chiến lược để chọn bạn đời đấy. Bạn nên hẹn hò với bao nhiêu người (và đá trở lại xuống ao, ack!) trước khi bạn quyết định ổn định, lập gia đình và sinh con (i.e hôn chú ếch,:P ), tùy thuộc vào bạn nghĩ người đó tốt đ/v bạn đến cỡ nào (con số trên lưng của họ đấy). Mô hìhn của chúng ta như sau:
1. Từ 1 số lượng người có hạn, ta cần chọn ra người bạn đời cho mình.
2. Các “ứng viên” sẽ lần lượt xuất hiện và ta không biết khi nào hay liệu còn “ứng viên” nào tốt hơn sẽ xuất hiện hay không. Ta muốn chọn bạn đời tốt nhất có thể được.
3. Chiến lược sẽ là hẹn hò với 37% trong số ứng viên (rồi đá họ, ack!) và rồi chọn người tốt nhất xuất hiện kế tiếp. Xác suất thành công của chiến lược này cũng là 37%.
4. Đến đây xuất hiện điều thú vị, liệu chiến lược này có thật sự hợp lý không? Ta có bỏ sót điều gì so với quá trình lựa chọn bạn đời trong thực tế hay không?
(Tuy nhiên tôi không biết thực tế người ta có dùng đến hay có nên dùng quy tắc 37% này hay không :D )

[lnhoa]

Chú ếch bạn chọn thật sự tốt đến cỡ nào?

http://plus.maths.org/issue48/features/billingham/couple.jpg
Kissed too soon?

Tôi có nghe nói rằng khi nam và nữ gặp nhau, 2 bên thường hay xếp hạng lẫn nhau theo 1 thang điểm từ 1 đến 10, các nhà toán học thì rất thông minh ) nên họ sẽ
dùng thang từ 0 đến 1. Do đó ta thay đổi điều kiện của bài toán ban đầu 1 chút.
“Các chú ếch lúc này được đánh số ngẫu nhiên bằng 1 con số nằm trong khoảng từ 0 đến 1”
Như vậy lúc này công chúa có nhiều thông tin hơn. Lúc này cô biết có 1 số lớn nhất và 1 số nhỏ nhất (1 và 0) và các số của các chú ếch được phân bố đều (nhưng ngẫu nhiên) từ 0 đến 1. Nếu chú ếch đầu tiên mang số 0.99 thì chắc chắn là chú ếch xịn nhất và nên hôn chú ngay. Nhưng nếu chú đầu tiên mang số 0.8 thì sao? Có đủ tốt để được hôn chưa? Hóa ra chiến lược (mà bất kỳ cô nào trên 25 tuổi cũng biết ) là bắt đầu với các “tiêu chuẩn” cao và hạ thấp chúng dần dần. Ở đây chúng ta sẽ làm toán tiếp, do đó tiêu chuẩn ở đây nghĩa là “mỗi chú ếch có 1 con số quyết định, mà nếu số chú mang dưới con số này thì công chúa không nên hôn”. Và sau đây là cách tính con số quyết định ấy.
Tôi có nghe nói rằng khi nam và nữ gặp nhau, 2 bên thường hay xếp hạng lẫn nhau theo 1 thang điểm từ 1 đến 10, các nhà toán học thì rất thông minh ) nên họ sẽ
dùng thang từ 0 đến 1. Do đó ta thay đổi điều kiện của bài toán ban đầu 1 chút.
“Các chú ếch lúc này được đánh số ngẫu nhiên bằng 1 con số nằm trong khoảng từ 0 đến 1”
Như vậy lúc này công chúa có nhiều thông tin hơn. Lúc này cô biết có 1 số lớn nhất và 1 số nhỏ nhất (1 và 0) và các số của các chú ếch được phân bố đều (nhưng ngẫu nhiên) từ 0 đến 1. Nếu chú ếch đầu tiên mang số 0.99 thì chắc chắn là chú ếch xịn nhất và nên hôn chú ngay. Nhưng nếu chú đầu tiên mang số 0.8 thì sao? Có đủ tốt để được hôn chưa? Hóa ra chiến lược (mà bất kỳ cô nào trên 25 tuổi cũng biết) là bắt đầu với các “tiêu chuẩn” cao và hạ thấp chúng dần dần. Ở đây chúng ta sẽ làm toán tiếp, do đó tiêu chuẩn ở đây nghĩa là “mỗi chú ếch có 1 con số quyết định, mà nếu số chú mang dưới con số này thì công chúa không nên hôn”. Và sau đây là cách tính con số quyết định ấy.

Cách tính số quyết định

Ta xét bài toán tổng quát:
Bài toán: Có N chú ếch, mỗi chú mang 1 con số ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến 1. Với các điều kiện như từ đầu đến giờ, ta cần tìm con số quyết định (‘tiêu chuẩn’) tương ứng với mỗi chú ếch.

Ký hiệu y_j là số trên lưng chú ếch thứ j,j=1 \to N. Và ta sẽ cố gắng tìm 1 dãy tăng các số b_j (các số quyết định) sao cho nếu y_j > b_{N-j} và là số lớn nhất trong j số đầu tiên thì ta sẽ hôn chú ếch thứ j. Nói cách khác để quyết định hôn chú cuối cùng ta cần y_n > b_0 , chú kế cuối ta cần y_{N-1} > b_1 và cứ thế. Lý do của việc đánh số ngược này sẽ được giải thích ngay.

Giả sử có N-k chú ếch đã nhảy lên và chú thứ N-k mang số lớn nhất y_{N-k}. Ta ký hiệu lại y_{N-K} là y cho gọn. Như vậy còn k chú ếch chưa nhảy lên. Do đó nếu công chúa hôn chú ếch thứ N-k thì khả năng để chú này là hoàng tử bằng với khả năng mà k chú còn lại mang số nhỏ hơn y, tức là y^k. Phần tiếp theo hơi khó hơn 1 chút ...

Nếu công chúa không hôn chú thứ N-k mà quyết định tìm chú tiếp theo mang số lớn hơn y. Ta có thể tìm xs hôn trúng hoàng tử bằng lý luận như sau:
Giả sử còn lại j chú ếch mang số lớn hơn y. Khi đó j có thể nhận các giá trị từ 1,2,…,k. Ta tính xs thắng ứng với mỗi j rồi cộng lại.
Khả năng mà trong k chú còn lại có đúng j chú mang số lớn hơn y sẽ là (1-y)^j y^{k-j} nhân với số cách chọn ra j chú từ k chú (tức là C_{k}^j )
Khi đó xs mà công chúa hôn đúng chú ếch mang số lớn nhất trong số j chú này là 1/j.
Tóm lại khi có đúng j chú mang số lớn hơn y thì xs công chúa hôn đúng hoàng tử sẽ là:
\frac{1}{j} C_{k}^j (1-y)^j y^{k-j}
Cộng hết tất cả các trường hợp này ta được xs thắng nếu công chúa không hôn chú ếch thứ N-k sẽ là:
\sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j} C_{k}^j (1-y)^j y^{k-j}

Như vậy số quyết định cần tìm sẽ là giá trị của y mà tại đó xs thắng nếu công chúa hôn chú thứ N-k cân bằng với xs thắng nếu công chúa không hôn chú này, tức là giá trị y đó phải thỏa phương trình :

y^k = \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j} C_{k}^j (1-y)^j y^{k-j}
Chia 2 vế cho y^k ta được:
1 = \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j} C_{k}^j (\frac{1-y}{y})^j

Đặt z = \frac{1-y}{y} ta được phương trình :
1 = \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j} C_{k}^j z^j
Khi đã tìm ra nghiệm dương duy nhất z=z* của phương trình trên (bạn hãy cm phương trình trên có nghiệm dương duy nhất nhé) thì số quyết định thứ k sẽ là:
b_k=\frac{1}{z*+1}

Ta hãy thử ct vừa tìm được với các giá trị k khác nhau.
k=0, công chúa chắc chắn sẽ hôn chú cuối cùng nếu nó mang số cao nhất, do đó b0=0
k=1, giá trị trung bình của chú ếch cuối cùng là 0.5, do đó công chúa nên hôn chú kế cuối nếu y_{N-1} là số lớn nhất cô từng nhìn thấy và y_{N-1} >0.5 , i.e b_1=0.5 . Khi k=1, phương trình để tìm z* là: z-1=0 nên z*=1 và b1=0.5, lý luận và thực tế khớp nhau.

Khi k = 2,PT tìm z* là http://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html3/images/img-0021.png
có no dương duy nhất http://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html3/images/img-0022.png do đóhttp://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html3/images/img-0023.png

Các bạn sẽ thấy các số b0,b1,b2 này trên đồ thị.
http://plus.maths.org/issue48/features/billingham/frog1.gif
http://plus.maths.org/issue48/features/billingham/frog2.gif
http://plus.maths.org/issue48/features/billingham/frog3.gif

Nhìn vào đồi thị ta thấy khi k \to \inf thì b_k \to 1 nhưng ta chưa biết được b_k tiến về 1 nhanh chậm như thế nào
Ta có thể biến đổi phương trình tìm z* ở trên thành
http://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html4/images/img-0022.png
Đổi Biến thành:
http://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html4/images/img-0028.png với http://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html4/images/img-0026.png và http://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html4/images/img-0027.png
Xấp xỉ thành:
http://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html4/images/img-0029.png

Từ đó có công thức gần đúng cho "số quyết định"
http://plus.maths.org/MI/plus/issue48/features/billingham/proof2html4/images/img-0035.png

[lnhoa]

Tất nhiên bài toán trên thiếu nhiều giả thiết để trở thành 1 mô hình hợp lý cho thực tế.Tuy nhiên nó được dùng vào nhiều việc khác (chứ ko phải vào việc tìm ng yêu :D) Đây là phần kết luận trong bài báo.Mọi người tự dịch nhé :D


he best-looking frog ... but he doesn't fancy me .. and I don't know why not!

http://plus.maths.org/issue48/features/billingham/kiss2.jpg A frog's perspective.

There are lots of other things that we could add to our mathematical model to make it more realistic. For example, in real life, if you kiss the second best frog, you don't have to stay in the enchanted forest. Unless you're an incurable romantic who thinks that there's just one perfect person out there for you, you can be very happy with frog number 2. Maybe you're more interested in avoiding a very bad frog. What's more important, making sure you bag frog number 1 or avoiding frogs 51 to 100? The strategy you should choose depends upon what you're trying to achieve.
Now let's imagine that the princess, who I have so far avoided describing, has a face like a bag of spanners. When the handsome prince appears, he may take one look at her and run for his life. Partner choice is a two-way business. You must choose and be chosen. If you kiss a frog whose number is too far from yours, disaster is probably just around the corner. And how do you know what your number is anyway? You may think you know, but it's not what you think that matters. It's only by finding out who will agree to date you that you start to get some idea of what your number is. All of these features can be, and have been, added to mathematical models.
There's more to life than snogging

One of the great things about maths is that it has so many different uses. In fact, the same bit of maths can have lots of different applications, and the fairytale of the frog prince is an example of this. Let me retell the fairytale one last time. In this version, the princess's three brothers have been turned into frogs and thrown into the pond. She still has to find them by kissing them, the frogs are still numbered between 0 and 1 and her brothers have the three largest numbers. The witch is very generous and allows her to kiss 20 of the frogs. As long as her brothers get a kiss, all four of them can go home. If you think this sounds easy, you'd be right. In fact, with the right strategy, the chances of a brother missing out on his kiss are tiny. Again, there are decision numbers, but these are very low to start with, so that the princess's lips will be kept busy at the start of the parade of frogs. However, after each of the first two kisses, the decision numbers increase and, after she has kissed three frogs, she kisses any frog numbered in the top three so far.
http://plus.maths.org/issue48/features/billingham/pylon.jpg Don't marry this.

So what's that got to do with partner choice? I don't know of anyone who arranges their love life in such a bizarre way. In fact, this is a mathematical model for a game played between the regulators and the suppliers of electricity in the UK. Part of the money paid by industrial customers to their electricity supplier is based on their consumption of electricity during the three half hour periods during each year when the total consumption of energy across the whole country is highest. From the regulator's point of view, this is meant to encourage industry to cut back its consumption during times when the national grid gets close to its operating capacity. From the point of view of a large industrial consumer of electricity, they want to know when these half hour periods are, so that they can shut down their factories and save themselves lots of money. The problem is that nobody knows when these three periods (called the triads) are until the year ends and the electricity consumption figures are added up. Industry is therefore prepared to pay a lot of money to anyone who can accurately predict these triad periods for them (call the triads). They know that they'll have to turn off their factories more than just three times to hit the triads reliably, but aren't prepared to do this more than about 20 times per year.
So, here's the fairytale again. Predictions of energy consumption appear in sequence (frogs jump out of the pond), we want to make sure we advise our customers to turn off their factories when we think this will be a triad (the princess must kiss her three brothers), but we mustn't do this more than 20 times (the princess can kiss no more than 20 frogs). If energy consumption figures were just random numbers between 0 and 1, this would be pretty easy, and no one would make any money from predicting triads.
http://plus.maths.org/issue48/features/billingham/frog2.jpg 'Kiss me!'

However, and here we're back at step 6b of my description of mathematical modelling, there are lots of complications. I'll tell you about just two of them. Firstly, energy consumption figures are basically random numbers, but each number depends to some extent on the number before, in the same way that the weather today is a reasonable predictor of the weather tomorrow. This means that we need another mathematical model for how these numbers behave, and, back in the real world, we have to predict them. Secondly, calling a triad affects the numbers that we're trying to predict. Say we predict that electricity consumption will be high enough to be a triad period, we call it, and our customers close down their factories. Electricity consumption is then lower than it would have been (which is, of course, why the regulators set up the game in this way). There is negative feedback built into the system. But we may still need to call the triad, because otherwise the factories stay on, electricity consumption is higher, and the princess's brother stays in the pond forever!


Nguồn:
http://plus.maths.org/issue48/features/billingham/index.html